Quyidagi folklor masalani qaraylik:
▻ $ABCDEF$ oltiburchak $\Omega$ aylanaga ichki chizilgan, hamda $AB\cap CD=K(.)$, $AC\cap BD=L(.)$, $AF\cap DE=M(.)$, $AE\cap DF = N(.)$. U holda $K,L,M,N$ nuqtalardan qaysidir uchtasining bitta to'g'ri chiziqda yotishidan to'rtinchisining ham ushbu to'g'ri chiziqda yotishini keltirib chiqaring.
Masala eski bolsada (oldin ham ko'rganman, manbasini keyinroq qo'shishim mumkin), yaqinda "agentlik olimpiadasi"(uzb) ning viloyat bosqichida o'quvchilarga taqdim etilgan. Quyida ikkita ajoyib yechimni keltiramiz; ikkalasi ham proyektiv yechim!
-------------------------------------------------------------------
1-yechim. (Pole & polar) Pole (nuqta) va Polar line (t/ch) nazariyasini o'zbekchaga qanday o'girishni bilmayman, balkim Qutb & Qutb o'qi deb tarjima qilgan ma'quldir, lekin biz Pole & Polar o'qi terminlarida qolamiz (mahalliylashtiramiz).
 |
| 1-chizma |
Aytaylik, $BC\cap AD=X(.)$ va $EF\cap AD=X'(.)$ bo'lsin. U holda $KL$ t/ch $X$ nuqtaning $\Omega$ aylanadagi polar o'qi, $MN$ t/ch esa $X'$ nuqtaning $\Omega$ aylanadagi polar o'qi bo'ladi. Bundan $K$ va $L$ larning polar o'qlari $AD$ ni aynan $X$ nuqtada, $N$ va $M$ larning polar o'qlari esa $AD$ ni aynan $X'$ nuqtada kesin o'tishi keladi. Agar $K$, $L$, $M$, $N$ nuqtalarning ixtiyoriy uchtasi bitta to'g'ri chiziqda yotsa, bu degani, ushbu to'g'ri chiziq yoki $X$ ning, yoki $X'$ ning polari bo'ladi, va ushbu uchta nuqtaning polar o'qlari yoki $X$ dan, yoki $X'$ dan o'tadi. Demak, $X\equiv X'$, ya'ni ushbu nuqtalar ustma-ust tushadi; shu jumaladan, ularning $\Omega$ aylanadagi polar o'qlari ham (1-chizma ga qarang). Isbot tugadi. ▢
2-yechim. (Paskal teoremasi) Aytaylik, $BE\cap CF=T(.)$ bo'lsin va biz masalani yakunlash uchun Paskal teoremasidan foydalanmiz.
 |
| 2-chizma |
- $FABEDC$ uchun Paskal teoremasidan \[ FA\cap ED=M(.), \quad AB\cap DC = K(.), \quad BE\cap CF=T(.) \] nuqtalarning collinear ekanligi keladi;
- $EACFDB$ uchun Paskal teoremasidan \[ EA\cap FD = N(.), \quad AC\cap DB=L(.), \quad CF\cap BE=T(.) \] nuqtalarning collinear ekanligi keladi.
Demak, $K$, $L$, $N$, $M$ nuqtalardan ixtiyoriy uchtasi bitta t/ch da yotishidan, nafaqat to'rtinchi nuqtaning, balki $T$ ning ham ushbu to'g'ri chiziqda yotishi keladi. ▢