IZHO 2025, P5 masalani qaraylik:
▻ Aytaylik bizga $O$ markazli aylanaga ichki chizilgan $A_1C_2B_1B_2C_1A_2$ qavariq oltiburchak berilgan. $P(.) = A_2B_2\cap A_1B_1$ va $Q(.)=A_2C_2\cap A_1C_1$ nuqtalar aniqlangan. Aytaylik $\Gamma_1$ aylana $OB_1$ va $OC_1$ larga mos ravishda $B_1$ va $C_1$ nuqtalarda urinuvchi aylana bo'lsin. Xuddi shunday, $\Gamma_2$ aylana $OB_2$ va $OC_2$ larga mos ravishda $B_2$ va $C_2$ nuqtalarda urinuvchi aylana deylik. U holda markazi $PQ$ da yotuvchi $\Gamma_1$ ni $\Gamma_2$ ga akslantiruvchi homotetiya mavjud ekanligini isbotlang.
Ma'lum-ki, aylanalar ikkita homotetik markazga ega: insimilicenter va exsimilicenter. Ushbu masala bizdan $\Gamma_1$ va $\Gamma_2$ aylanalarning ikkita o'xshashlik markazlaridan biri $PQ$ da yotishini ko'rsatishimizni so'ramoqda. Oltiburchakning qavariqlik shartidan va chizma chizishdan ko'rish mumkin-ki, aynan aylanalarning insimilicenteri $PQ$ da yotishini ko'rsatishimiz lozim.
Yechim. $A_1B_1C_2A_2B_2C_1$ tartiblangan oltita nuqta uchun Paskal teoremasini qo'llash orqali $P$, $Q$ va $C_2B_1\cap C_1B_2 = R(.)$ nuqtalarni bir to`g`ri chiziqda yotishini keltiramiz. Pole va polar duality ga ko`ra $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ aylanalarning markazlari, hamda $R$ nuqta bir to`g`ri chiziqda yotadi. Bu degani, biz aynan $R$ nuqtani aylanalar uchun insimilicenter vazifasini bajarishini ko'rsatishimiz lozim. Insimilicenterni aylana markazlari yotgan kesma ichidagi, aylana markazlaridan radiuslar kabi nisbatda ajratuvchi, nuqta deb tushunishimiz mumkin. Exsimilicenter esa kesma yotgan to'g'ri chiziqda, kesma tashqaridan shunday nisbatda ajratuvchi nuqta deb tushunish mumkin. Biz masalani to'laligicha $C_2B_1B_2C_1$ siklik qavariq to'rtburchak yozib olishimiz mumkin. Ya'ni, bizdagi masala quyidagiga ekvivalent:
$O$ markazli aylanaga ichki chizilgan $ABCD$ qavariq to'rtburchak berilgan. Aytaylik, to'rtburchak diagonallari $R$ nuqtada kesishadi. Qarama-qarshi tomonlari esa $AB\cap CD=Q(.)$ va $AD\cap BC=P(.)$ da kesishadi. Tashqi aylanasiga $A$ va $C$ nuqtalardan o`tkazilgan urinmalar $X$ nuqtada, $B$ va $D$ nuqtalardan o'tkazilgan urinmalar esa $Y$ nuqtada kesishadi. Albatta, $P$, $X$, $Q$, $Y$ nuqtalar bir to'g'ri chiziqda -- $R$ nuqtaning $(O)$ aylanaga nisbatan polar o'qida yotadi. Bizdan quyidagi nisbatlar tengligini ko'rsatish so'ralgan: \[ \frac{QX}{QY} = \frac{XC}{YB}, \quad \text{yoki/va} \quad \frac{PX}{PY} = \frac{XC}{YB}. \]
$\{P,X,Q,Y\}$ nuqtalar harmonik ekanligidan, yuqoridagi tengliklar aslida ekvivalentdir. Shuning uchun ixtiyoriy bittasini ko'rsatishimiz yetarli bo'ladi. Umuman olganda, ushbu tengliklar $X$ markazli $XC=XA$ radiusli va $Y$ markazli $YB=YD$ radiusli aylanalar uchun $P$ va $Q$ nuqtalar insimilicenter va exsimilicenter bo'lishini bildiradi.
 |
| 1-chizma |
Biz $\triangle PXC$ va $\triangle PYB$ uchburchaklar uchun sinuslar teoremasini qo'llagan holda $\frac{PX}{PY} = \frac{XC}{YB}$ tenglikni ko'rsatamiz.
Ma'lum-ki, $\frac{PX}{XC} = \frac{\sin \angle PCX}{ \sin \angle XPC}$ va $\frac{PY}{YB} = \frac{\sin \angle PBY}{\sin \angle YPB}$. Albatta, yuqoridagi chizmaga ko'ra, bizda $\angle XPC = \angle YPB$ va $\angle PCX+\angle PBY = 180^{\circ}$ ekanligi bor. Demak, keltirilgan sinuslar nisbatlari o'zaro teng va bizda $\frac{PX}{XC} = \frac{PY}{YB}$ bor. ▢
Izoh. Yuqoridagi yechimda masalani siklik to'rtburchaklar uchun Brokar konfiguratsiyaga moslashtirdik. Umuman olganda, ushbu konfiguratsiyada bizdan \[ \frac{PX\cdot QX}{\mathrm{Pow} (X)} = \frac{PY\cdot QY}{\mathrm{Pow} (Y)} \] ni isbotlash so'ramoqda. Agar $PQ$ diametrli aylanani qaraydigan bo'lsak, ushbu aylana $(O)$ ga ortogonal bo'ladi va masalaning asl mohiyati Apollon aylanasiga borib taqaladi (misol uchun $(O)$ aylanani nol radiusli deb faraz qilish mumkin).