Qiziqarli masala:
▻ $ABCD$ teng yonli trapetsida $F$ va $G$ nuqtalar $AB$ va $CD$ asoslarining o'rtalari bo'lsin (1-chizma da keltirilgan). Aytaylik, $FG$ ni kichik diametr (kanonik ko'rinishidagi $2b$) qilib, katta diametri uzunligini esa $AC$ (kanonik ko'rinishdagi $2a$) ga tenglab $\varepsilon$ ellips yasalgan. Ushbu $\varepsilon$ ellipsni $ABCD$ trapetsiya tashqi aylanasiga urinishini (ikkita nuqtada) isbotlang.
 |
| 1-chizma |
Yechim. Ma'lum-ki, $FG$ ning o'rtasi ellips uchun markaz vazifasini bajaradi. Agar ushbu markazni koordinata boshi sifatida qarasak, fokuslar $(-c,0)$ va $(c,0)$ nuqtalarda yotishidan, $2c = \sqrt{AC^2-FG^2} = MN$ ni topamiz, bu yerda $M$ va $N$ orqali $AD$ va $BC$ yon tomonlar o'rtalari qaralmoqda. Ya'ni, aynan $M$ va $N$ nuqtalar $\varepsilon$ ellips uchun fokus vazifasini bajarar ekan.
 |
| 2-chizma |
Aytaylik, $O$ nuqta $ABCD$ ning tashi aylana markazi bo'lsin va $MON$ uchburchak tashqi aylanasi $(ABCD)$ aylanani $X$ va $Y$ nuqtalarda kesib o'tsin (2-chizma ga qarang, albatta ikkita nuqtada kesib o'tadi, chunki ushbu aylana $AD\cap BC$ nuqtadan ham o'tishi kerak). Biz aynan ushbu $X$, $Y$ nuqtalar $\varepsilon$ ellipsning trapetsiya tashqi aylanasiga urinish nuqtalari bo'lishini ko'rsatamiz.
Aslida bu juda oddiy! Ptolemey teoremasiga ko'ra \[ MX+NX = \frac{OX\cdot MN}{OM} = AC = 2a \] keladi, bunda biz $\triangle AOC \sim \triangle MON$ dan foydalandik. Bu degani, $X$ nuqta (xuddi shunday, $Y$ nuqta ham) $\varepsilon$ da yotadi deganidir. Demak, $\varepsilon$ ellips $M$ va $N$ fokuslarga ega bo'lgan $G$, $F$, $X$, $Y$ nuqtalardan o'tuvchi ellips ekan. Aytaylik, ushbu ellips $ABCD$ ning tashi aylanasini $X$ va $Y$ dan tashqari biror $Z$ nuqtada ham kesib o'tsin. U holda $MZ+NZ=2a=AC$ va \[ OM\cdot NZ + ON\cdot MZ = MN\cdot OZ \] ekanligidan Ptolemey tengsizligidan tenglik holi faqat va faqat to'rtburchak siklik bo'lgandagina bajarilishiga ko'ra $OMZN$ ning siklik ekanligini hosil qilamiz. Ya'ni, $Z$ nuqta $X$ yoki $Y$ nuqtalardan biri bo'lishga majbur, ziddiyat!
Xulosa shuki, $\varepsilon$ ellips trapetsiya tashqi aylanasi bilan $X$ nuqtada kesishib, yana $F$ va $G$ nuqtalardan o'tishga ulgurishi uchun tashqi aylanaga $X$ nuqtada urinishi lozim. Xuddi shunday, $Y$ nuqtaga ham urinishini ayta olamiz. ▢
Bundan tashqari, $X$ nuqtadan tashqi aylanaga o'tkazilgan urinma $MXN$ uchburchak uchun tashqi bissektrisa vazifasini bajaradi, chunki $OX$ ichki bissektrisa edi. Bu esa ellips optik xossasiga ko'ra ushbu urinmaning ellipsga ham urinma bo'lishini anglatadi.
