UZBTST 2023 (1-bosqich) dan quyidagi masalani qaraylik:
▻ O'tkir burchakli $ABC$ uchburchakning $AA_1$ va $CC_1$ balandliklari $H$ nuqtada kesishadi. Aytaylik, $A_1C_1$ to'g'ri chiziqga parallel ravishda $H$ nuqtadan o'tkazilgan to'g'ri chiziq $AHC_1$ va $CHA_1$ uchburchaklarning tashqi aylanalarini mos ravishda $X$ va $Y$ nuqtalarda kesib o'tadi. Ushbu $X$ va $Y$ nuqtalar $BH$ kesmaning o'rtasidan teng uzoqlikda joylashganini isbotlang.
Yechim. Aytaylik, $N$ nuqta orqali $BH$ kesmaning o'rtasi olingan bo'lsin. U holda $BC_1HA_1$ to'rtburchakka tashqi aylana chizish mumkin va ushbu aylananing markazi $N$ nuqta ekanligi aniq. \[ \angle XC_1A = \angle XHA = \angle C_1A_1A = \frac{\angle C_1NH}{2} = \angle NC_1B \] dan $X,C_1,N$ nuqtalarning kollinearligi keladi. Xuddi shunday, $Y,A_1,N$ nuqtalarning kollinearligini ham ayta olamiz. Demak, $\triangle NC_1A_1 \sim \triangle NXY$ va $NC_1=NA_1$ dan $NX=NY$ ekan. ▢
 |
| 1-chizma |
Masalada yana quyidagilarni ham topish mumkin:
-- $BB_1$ balandlikni aniqlasak, $AC_1HB_1$ va $CA_1HB_1$ to'rtburchaklarning ham siklik ekanligi keladi. Demak, $X$ nuqta $AH$ diametrli, $Y$ nuqta esa $CH$ diametrli aylanalarda yotadi;
-- $NX=NY=NB_1$ bo'ladi;
-- $AC$ ni o'rtasini $M$ nuqta orqali belgilaydigan bo'lsak, $MX=MY$ ham o'rinli;