IMO da uchrab turadigan "yecha olmaslikning iloji yo'q" masalalar turkumiga mansub IMO 2012/P1 ni qaraylik:
▻ Aytaylik, $ABC$ uchburchak berilgan; $A$ uchiga mos keluvchi tashqi-ichki aylanasi markazi $J$ nuqta bo'lib, tashqi-ichki aylananing o'zi $BC$ tomonga $M$ nuqtada, $AB$ va $AC$ to'g'ri chiziqlarga mos ravishda $K$ va $L$ nuqtalarda urinadi. $LM$ va $BJ$ to'g'ri chiziqlar $F$ nuqtada, $KM$ va $CJ$ to'g'ri chiziqlar esa $G$ nuqtada kesishsin. Aytaylik, $S$ nuqta orqali $AF$ va $BC$ to'g'ri chiziqlar kesishmasi, $T$ nuqta orqali esa $AG$ va $BC$ to'g'ri chiziqlar kesishmasi belgilangan. U holda $M$ nuqta $ST$ kesma o'rtasi bo'lishini isbotlang.
Aslida, masala bir marta chizma chizib ko'rishlikdan iboratdir va bizga yaxshigina ma'lum bo'lgan konfiguratsiya ustiga qurilgan; faqatgina ichki aylana o'rniga tashqi-ichki aylana qaralmoqda (ushbu konfiguratsiyadan Balkan MO 2023 da ham foydalangan edik). Ya'ni, uchburchak $B$ uchining polar o'qi bo'lmish $KM$ va $CJ$ larning kesishmasi $G$ nuqta $A$ dan $CJ$ ga tushirilgan perpendikulyar asosi hamdir. Bundan tashqari o'sha ushbu $G$ nuqta uchburchakning $BC$ tomoniga parallel bo'lgan o'rta chizig'ida yotadi.
Yechim. Bilamiz-ki, $BJ$ va $CJ$ lar $ABC$ uchburchakning $\angle B$ va $\angle C$ burchaklari tashqi bissektrisalari bo'ladi. Bundan tashqari, $BK=BM$ va $CL=CM$ ekanligi ham bor. Umuman olganda \[ \angle BFM = \angle JBM - \angle CML = \frac{\angle A}{2} \] ekanligini ko'rishimiz mumkin. Xuddi shunday, $\angle CGM = \frac{\angle A}{2}$ ham kelib chiqadi. Demak, $\angle JFL = \angle JAL = \angle JAK = \angle JGK = \frac{\angle A}{2}$.
 |
| 1-chizma |
Bundan $F,G,K,L$ nuqtalarning barchasini $AJ$ diameterli aylanada yotishini topamiz. Demak, $BF\perp AF$ va $BF$ ning $\angle ABS$ uchun bissektrisa ekanligi bor ekan. Boshqacha aytganda, $\triangle ABS$ - teng yonli uchburchak ekan. Xuddi shunday, $\triangle ACT$ ham teng yonli uchburchak bo'ladi.
Bu yog'iga o'zingiz ma'qul ko'rgan usulda masalaning yechimini yakunlab qo'yishingiz mumkin:
- $JF$ ning $AS$ uchun o'rta perpendikulyar bo'lishidan $\triangle AJS$ ham teng yonli va $AJ=SJ$ keladi. Xuddi shunday, $AJ=TJ$ ham keltirish mumkin. Demak, $SJ=TJ$ va $\triangle SJT$ - teng yonli ekan. Albatta, $JM\perp BC$ (tashqi-ichki aylana urinish nuqtasi edi) dan $M$ nuqtaning $ST$ kesme o'rtasi ekanligi kelib chiqadi.
- Xohlasangiz, $BS=AB$ va $CT=AC$ ekanligini davom etishingiz mumkin. Agar uchburchak yarim perimetrini $p$ deb qarasak, $MS = BM+BS= BK+AB = AK = p$ va $MT = CM+CT = CL + AC = AL = p$ keladi. Demak, $M$ nuqta $ST$ kesmaning o'rtasi bo'lar ekan.
Isbot tugadi. ▢
--------------------------------------------
Turli masalalarni ma'lum konfiguratsiyalar atrofida jamlab o'rganishning samarasi kattaroq!