IMO 2008/P1:
▻ O'tkir burchakli $ABC$ uchburchakda $H$ uning ortomarkazi; $H$ nuqtadan o'tuvchi markazi $BC$ tomon o'rtasida bo'lgan aylana $BC$ to'g'ri chiziqning o'zini $A_1$ va $A_2$ nuqtalarda kesib o'tadi. Xuddi shunday, $CA$ to'g'ri chiziqda $B_1$ va $B_2$ nuqtalar, $AB$ to'g'ri chiziqda $C_1$ va $C_2$ nuqtalar aniqlangan. U holda $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ nuqtalar bitta aylanada yotishini isbotlang.
1-yechim. Aytaylik $BC$, $CA$ va $AB$ tomonlarning o'rtalari $A_0$, $B_0$ va $C_0$ nuqtalar bo'lsin. Demak, bizda $A_0$ markazli $A_0H$ radiusli aylana olingan; $(A_0)$ deylik. Xuddi shunday, $(B_0)$ va $(C_0)$ aylanalar ham aniqlangan. Barcha aylanalar $H$ nuqtadan o'tadi.
 |
| 1-chizma |
$(A_0)$ va $(B_0)$ aylanalar ikkinchi bor $R$ nuqtada kesishsin (1-chizma ga qarang). U holda $HR$ ning aylanalar uchun radikal o'q sifatida $A_0B_0$ to'g'ri chiziqqa perpendikulyar ekanligi keladi. Boshqacha aytganda $HR\perp AB$, va $R$ nuqtaning $CH$ balandlikda yotishi aniq. Bu esa $C$ nutqaning ham ushbu aylanalar umumiy radikal o'qida yotishini beradi; $C$ nuqtaning ushbu aylanalardagi powerlari tengdir: \[ CA_1\cdot CA_2 = CB_1\cdot CB_2. \] Uchburchakning o'tkir burchakli ekanligi, $BC$ diametrli aylananing $H$ nuqtani o'z ichiga olinishini bildiradi. Xuddi shunday, $CA$ va $AB$ diametrli aylanalar ham $H$ nuqtani o'z ichiga oladi. Bu bilan biz $R$ nuqtaning $CH$ kesmada yotishini, $A_1$ va $A_2$ nuqtalarning $BC$ tomon ichki sohasida yotishini, $B_1$ va $B_2$ nuqtalar $CA$ tomon ichki sohasida yotishini hosil qilamiz. Demak, yuqoridagi $C$ nuqtaning powerlari tengligidan $A_1A_2B_1B_2$ to'rtburchakning siklik ekanligini olamiz. Va, ushbu to'rtburchakning aylana markazi, $A_0$ va $B_0$ nuqtalardan tomonlarga chiqarilgan perpendikulyarlarning kesishish nuqtasi - $O$ da yotishi aniq; $ABC$ uchburchak tashqi aylana markazi bo'lmish $O$ nuqta $A_1A_2B_1B_2$ to'rtburchak uchun tashqi aylana markazi vazifasini bajarar ekan.
Xuddi shunga o'xshash, $B_1B_2C_1C_2$ va $C_1C_2A_1A_2$ to'rtburchaklarning ham siklik ekanligi va tashqi aylana markazi aynan $O$ nuqta bo'lishini olamiz. Demak, berilgan nuqtalarning barchasi $O$ markazli bitta aylanada yotadi. ▢
2-yechim. (biroz analitik yechim) Asosiy g'oya $A_0H$ ni topishdan iborat. Umuman olganda $A_0$ markazli $BC$ diametrli aylanani qarasak, $H$ nuqtauning ushbu aylanadagi poweri $CH\cdot HF = A_0C^2 - HA_0^2$ ga tengdir, bunda $F$ nuqta uchburchakning $C$ uchidan turishirilgan balandligining asosi.
Uchburchakning qolgan balandliklarini $AD$, $BE$ degan holda, yuqoridagidek $H$ nuqtaning tomonlarni diametr qilib chizilgan aylanalardagi powerlarini qarasak, $CH\cdot HF = AH\cdot HD=BH\cdot HE$ dan \[ \frac{BC^2}{4} - HA_0^2 = \frac{CA^2}{4} - HB_0^2 = \frac{AB^2}{4} - HC_0^2 \] ni topamiz. Boshqa tomondan \[ \frac{BC^2}{4}+OA_0^2 = \frac{CA^2}{4}+OB_0^2 =\frac{AB^2}{4}+OC_0^2 = R^2, \] bu yerda $R$ - uchburchak tashqi aylana radiusi, va \[ HA_0^2 + OA_0^2 = HB_0^2+OB_0^2 = HC_0^2+OC_0^2 \] ekanligini keltiramiz. Albatta, $HA_0$ kesma $A_1A_0$ va $A_2A_0$ kesmalarga tengdir; $HB_0$ yoki $HC_0$ kesmalar uchun ham mos teng kesmalar bor. U holda yuqoridagi qatorni \[ OA_1=OA_2=OB_1=OB_2=OC_1=OC_2 \] ko'rinishida yozishimiz mumkin. Demak, berilgan nuqtalarning barchasi $O$ markazli biror aylanada yotar ekan. ▢