IMO 2009/P2:
▻ $ABC$ uchburchakda $O$ orqali uning tashqi aylana markazi belgilangan. Aytaylik, $P$ va $Q$ nuqtalar mos ravishda $CA$ va $AB$ tomonlarda (ichki sohasida) olingan. $K$, $L$ va $M$ nuqtalar mos ravishda $BP$, $CQ$ va $PQ$ kesmalarning o'rtalari bo'lsin. Faraz qilaylik, $PQ$ to'g'ri chiziq $K$, $L$ va $M$ nuqtalarda o'tuvchi $\Gamma$ aylanaga urinadi. U holda $OP=OQ$ ekanligini isbotlang.
Yechim. $OP=OQ$ deganda $P$ va $Q$ nuqtalaning $(O)$ aylanadagi powerlari teng deb tushunsak ham bo'ladi. Ushbu nuqtalarning powerlarini esa mos ravishda $AP\cdot PC$ va $AQ\cdot QB$ deb tushunishimiz ham mumkin. Demak, \[ AP\cdot PC = AQ\cdot QB \] ni isbotlashimiz yetarli ekan.
 |
| 1-chizma |
Aytaylik, $\Gamma$ aylana $BP$ va $CQ$ larni ikkinchi bor mos ravishda $K'$ va $L'$ nuqtalarda kesib o'tsin (1-chizma ga qarang). Bizga $PQ$ ning $\Gamma$ aylanaga urinma ekanligi berilgan. Bundan $PM^2 = PK'\cdot PK$ va $QM^2 = QL'\cdot QL$ ni, xususan \[ PM\cdot PQ = QM\cdot QP = PK' \cdot PB = QL'\cdot QC \] ni topamiz. Demak, $BQMK'$ va $CPML'$ lar siklik to'rtburchaklar ekan, shuningdek \[ \frac{MK'}{BQ} = \frac{PK'}{PQ} \quad \text{va} \quad \frac{ML'}{CP} = \frac{QL'}{QP} \] lar kelib chiqadi. Ushbu tengkliklarni yuqoridagi qator bilan birlashtiradigan bo'lsak, \[ \frac{MK'}{ML'} = \frac{QB\cdot CQ}{BP\cdot PC} \] ni topamiz.
Bilamiz-ki, $MK\parallel BQ$ va $ML\parallel CP$. Bundan $\angle MKK' = \angle QBP$ va $\angle MLL' = \angle PCQ$ ni ayta olamiz. $\Gamma$ aylanadan bizga ma'lum-ki, \[ \frac{MK'}{ML'} = \frac{\sin \angle MKK'}{\sin \angle MLL'} = \frac{\sin \angle QBP}{\sin \angle PCQ}. \] Endi, $ABP$ va $ACQ$ uchburchaklarda sinuslar teoremasidan kerakli darajada foydalanish orqali \[ \frac{MK'}{ML'} = \frac{\frac{AP \sin A}{ BP}}{\frac{AQ\sin A}{CQ}} = \frac{AP\cdot CQ}{AQ\cdot BP} \] ni keltiramiz. Demak \[ \frac{QB\cdot CQ}{BP\cdot PC} = \frac{AP\cdot CQ}{AQ\cdot BP}, \] ya'ni $AQ\cdot QB = AP\cdot PC$ ekan. ▢