GeoPorism

Search This Blog

APMO

APMO dan geo-masalalar va ularning yechimlari

Tavsiyaviy postlar

IMO2022, P4 - qavariq beshburchak

IMO2022/P4 masalasini ko'ramiz: ▻ $BC=DE$ bo'ladigan $ABCDE$ qavariq beshburchak berilgan. Faraz qilaylik, ushbu beshburchak ichida $TB=TD$, $TC=TE$ va $\angle ABT=\angle TEA$ bo'ladigan $T$ nuqta mavjud. $AB$ to'g'ri chiziq $CD$ va $CT$ to'g'ri chiziqlarni mos ravishda $P$ va $Q$ nuqtalarda kesib o'tadi. Aytaylik, $P$, $B$, $A$, $Q$ nuqtalar ko'rsatilgan tartibda bitta to'g'ri chiziqda yotadi. $AE$ to'g'ri chiziq ham $CD$ va $DT$ to'g'ri chiziqlarni mos ravishda $R$ va $S$ nuqtalarda kesib o'tib, $R$, $E$, $A$, $S$ nuqtalar keltirilgan tartibda bitta to'g'ri chiziqda yotadi. U holda $P$, $S$, $Q$, $R$ nuqtalar bir aylanada yotishini isbotlang. Yechim. Xuddi IMO2020/P1 ga o'xshab, masalani qay tomondan qurib olish yechimning mohiyatini hosil qiladi. 1-chizma

IMO2020/P1 - sintetik qurish

IMO2020 da quyidagi geo ( P1 ) ko'rinish bergan edi: ▻ $ABCD$ qavariq to'rtburchak berilgan. Aytaylik, $P$ nuqta $ABCD$ ning ichki sohasida olingan bo'lib, quyidagi shartni qanoatlantiradi: \[ \angle PAD : \angle PBA : \angle DPA = 1:2:3=\angle CBP : \angle BAP : \angle BPC. \] U holda $\angle ADP$ va $\angle BCP$ burchaklarning ichki bissektrisalari $AB$ kesmaning o'rta perpendikulyarida kesishishini isbotlang. Ushbu masala IMO tarixidagi eng oson masalalar turkumi dandir. Masalani yecha olmaslikning deyarli imkoni yo'q! Yechim. Yechim ko'paytirib o'tirmasdan aslida masala qanday qurilganini ko'rib chiqamiz va yechim ham shundan ayon bo'ladi. 1-chizma

IZHO 2025: pole va polar

IZHO 2025, P5 masalani qaraylik: ▻ Aytaylik bizga $O$ markazli aylanaga ichki chizilgan $A_1C_2B_1B_2C_1A_2$ qavariq oltiburchak berilgan. $P(.) = A_2B_2\cap A_1B_1$ va $Q(.)=A_2C_2\cap A_1C_1$ nuqtalar aniqlangan. Aytaylik $\Gamma_1$ aylana $OB_1$ va $OC_1$ larga mos ravishda $B_1$ va $C_1$ nuqtalarda urinuvchi aylana bo'lsin. Xuddi shunday, $\Gamma_2$ aylana $OB_2$ va $OC_2$ larga mos ravishda $B_2$ va $C_2$ nuqtalarda urinuvchi aylana deylik. U holda markazi $PQ$ da yotuvchi $\Gamma_1$ ni $\Gamma_2$ ga akslantiruvchi homotetiya mavjud ekanligini isbotlang. Ma'lum-ki, aylanalar ikkita homotetik markazga ega: insimilicenter va exsimilicenter. Ushbu masala bizdan $\Gamma_1$ va $\Gamma_2$ aylanalarning ikkita o'xshashlik markazlaridan biri $PQ$ da yotishini ko'rsatishimizni so'ramoqda. Oltiburchakning qavariqlik shartidan va chizma chizishdan ko'rish mumkin-ki, aynan aylanalarning insimilicenteri $PQ$ da yotishini ko'rsatishimiz lozim. Yechim. $A_1B_1C_2A...

Cheva trig. ning kuchi (IMO2009/P4)

IMO2009 da Hojoo Lee (va boshqalar) tomonidan quyidagi geometrik masala taklif etilgan edi : ▻ $AB=AC$ bo'lgan $ABC$ teng yonli uchburchak berilgan. $\angle CAB$ va $\angle ABC$ burchaklarning bissektrisalari mos ravishda $BC$ va $CA$ tomonlarni $D$ va $E$ nuqtalarda kesadi. Aytaylik, $K$ nuqta orqali $ADC$ uchburchakning ichki aylana markazi olingan. Faraz qilaylik, $\angle BEK = 45^{\circ}$ bo'lsin. $\angle CAB$ ning barcha qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlarini aniqlang. Ushbu masala orqali Cheva teoremasining trigonometrik ko'rinishini IMO darajasidagi masalalarda ham qo'llash mumkinligini ko'rsatmoqchimiz. Ya'ni, faqat bitta shu teoremani bilish orqali ham masalani yechish mumkin. Aslida analitik metodlarda, ayniqsa trigonometrik analitik metodlarni qo'llashda Cheva trig. teoremasi hali ham o'z dolzarbligini yo'qotmagan; birgina IMO2023 ning P2 masalasiga berilgan 3-yechim orqali ko'rishingiz ham mumkin. Yechim. Aytaylik, $BE$ ...

IMO2019/P2

IMO2019 / P2 haqida mulohaza yuritamiz: ▻ Aytaylik, $ABC$ uchburchakning $BC$ tomonida $A_1$ nuqta, $AC$ tomonida $B_1$ nuqta tanlangan. $P$ va $Q$ nuqtalar esa mos ravishda $AA_1$ va $BB_1$ kesmalarda yotib, $PQ\parallel AB$ start bajariladi. Aytaylik, $PB_1$ va $QA_1$ chiziqlarda mos ravishda $\angle PP_1C = \angle BAC$ va $\angle CQ_1Q=\angle CBA$ shartlarni qanoatlantiruvchi $P_1$ va $Q_1$ nuqtalar olingan, bunda $B_1$ nuqta $PP_1$ kesmaning, $A_1$ nuqta esa $QQ_1$ kesmaning qat'iy ichki sohasida yotadi. U holda $P$, $Q$, $P_1$, $Q_1$ nuqtalar bitta aylanada yotishini isbotlang. 1-chizma

Powered by Blogger