Balkan MO 2023 ning 2-masalasi:
▻ $ABC$ uchburchakka ichki chizilgan aylana $BC$, $CA$, $AB$ tomonlarga mos ravishda $D$, $E$, $F$ nuqtalarda urinadi. Faraz qilaylik, $EF$ to'g'ri chiziqda shunday $X$ nuqta mavjud-ki, $\angle XBC = \angle XCB = 45^{\circ}$ tenglik bajariladi. Aytaylik, $ABC$ uchburchak tashqi aylanasining $A$ nuqtani o'z ichiga olmaydigan $BC$ yoyining o'rtasi $M$ nuqta bilan belgilangan. U holda $MD$ to'g'ri chiziq yoki $E$, yoki $F$ nuqtadan o'tishini isbotlang.
-------------------------------------------------------------------
Demak, $X$ nuqta $EF$ da yotib, $\angle BXC=90^{\circ}$ tenglik bajarilar ekan. Bu degani, $X$ nuqta $BC$ diametrli aylanada yotadi va bizdagi natijadan foydalanadigan bo'lsak, $X$ nuqta $BI$ ning $EF$ bilan yoki $CI$ ning $EF$ bilan kesishish nuqtasidir.
Faraz qilaylik, $X$ nuqta $BI$ bissektrisada yotadi. U holda $\angle XBC=45^{\circ}$ dan $\angle ABC=90^{\circ}$ keladi. $EF$ to'g'ri chiziq $(ABC)$ ning $BC$ yoyini $M'$ nuqtada kesib o'tsa, unda $\angle AM'C=90^{\circ}$ dan, $AM'$ ning $\angle BAC$ bissektrisasi ekanligi keladi. Demak, $M\equiv M'$ va $M$ nuqta $DF$ da yotishi kelib chiqadi. Isbot tugadi. ▢