bissektrisaga tushirilgan perpendikulyar

Bir nechta o'xshash masalalarni ko'ramiz. Berilgan konfiguratsiya quyidagicha: 

$ABC$ uchburchak berilgan, $(I)$ uchburchakning ichki aylanasi va u $BC$, $CA$, $AB$ tomonlarga mos ravishda $D$, $E$, $F$ nuqtalarda urinadi. Bundan tashqari, $A_1$, $B_1$, $C_1$ nuqtalar mos ravishda $BC$, $CA$, $AB$ tomonlarning o'rtalari bo'lsin. $\angle B$ ning va $\angle C$ ning bissektrisalari $EF$ ni mos ravishda $S$ va $T$ nuqtalarda kesib o'tsin. 

U holda bizda quyidagilar bor: 

(a) $\angle CSI = \angle BTI =90^{\circ}$.

(b) $S$ va $T$ nuqtalar $BC$ diametrli aylanada yotadi va $A_1S=A_1T$.

(c) $A_1$, $B_1$, $S$ nuqtalar collinear; xuddi shunday, $A_1$, $C_1$, $T$ nuqtalar collinear.

1-chizma

Ushbu natijalarni ko'rsatish unchalik ham qiyin emas. 

(a) uchun $\angle ISE = \angle BSF = \angle AFE -\angle FBS = \angle ICE$ ni ta'kidlab o'tish kifoya. Bundan, $IESC$ ning cyclic ekanligini keladi va $\angle ISC=\angle IEC = 90^{\circ}$ bo'ladi. Xuddi shunday, $\angle ITB=90^{\circ}$ ekanligini ham keltirish mumkin. 

(b) esa (a) dan to'g'ridan-to'g'ri kelib chiqadi, $\angle BSC = \angle ISC = 90^{\circ}$ va $\angle CTB = \angle ITB = 90^{\circ}$.

(c) uchun (b) dan foydalanishimiz mumkin. Bilimiz-ki, $A_1S=A_1B=A_1C$ dan $\angle A_1SB = \angle A_1BS = \angle ABS $ va bundan $A_1S \parallel AB$ bo'ladi; $A_1S$ ning $B_1$ o'tishi kelib chiqadi. Xuddi shunday, $A_1T$ ning $C_1$ dan o'tishini keltirish mumkin. 

Alternativ yechim. Aytaylik, $EF\cap BC=X(.)$ bo'lsin. Bilamiz-ki, $(X,B,D,C)$ nuqtalar harmonik bo'ladi. Agar $EF$ t\ch $(IDCE)$ aylanani biror $S'$ nuqtada kesib o'tsa, $(I,D,C,E)$ nuqtalarning harmonikligidan $C$, $D$, $S'I\cap BC$, $X$ nuqtalarning ham harmonik bundle hosil qilishi keladi. Bu esa $S'I\cap BC=B(.)$ ekanligini beradi. Demak, $S'\equiv S$ va $S$ nuqta $IC$ diametrli aylanada yotadi; $\angle ISC=90^{\circ}$. Qolgan natijalarni esa holding yechimdagidek davom ettirish mumkin.     

-------------------------------------------------------------------

Ushbu konfiguratsiya ko'plab olimpiadalarda uchrab turadi (turlicha ko'rinishlarda). Jumladan, ToT (Tournament of Towns) dan quyidagi misolni keltirish mumkin:

▻ $ABC$ uchburchakning ichki aylanasi $AB$ va $AC$ tomonlarga mos ravishda $F$ va $E$ nuqtalarda urinadi. Aytaylik, $A_1$, $B_1$ nuqtalar mos ravishda $BC$ va $AC$ tomonlarni o`rtalari, hamda $A_1B_1\cap EF = S(.)$. U holda $S$ nuqta $\angle B$ ning bissektrisasida yotishini isbotlang.

Masalaning isboti mustaqil yechish uchun o'quvchiga qoldiriladi.