UZBTST 2023 (xalqaro olimpiadaga saralash) da o'quvchilarga taqdim qilingan quyidagi masalani ko'raylik:
▻ Aytaylik, $A_1$, $B_1$, $C_1$ nuqtalar $ABC$ uchburchakning tashqi aylanasida olingan bo'lib, bunda $AA_1\| BB_1\| CC_1$. U holda $AB_1C_1$, $BC_1A_1$ va $CA_1B_1$ uchburchaklarning balandliklari kesishish nuqtalari bir to'g'ri chiziqda yotishini isbotlang.
Masala ikkinchi saralashdan keyin o'n kunlik tayyorlov davomidagi mocklarning birida tashlangan. Blogimizni aynan shu masala atrofida gaplashishdan boshlaymiz.
-------------------------------------------------------------------Yechim. Aytaylik, $H_a$, $H_b$, $H_c$ nuqtalar berilgan uchburchaklarning ortomarkazlari bo'lsin. Shuningdek, $\overline{u}$ vektor $AA_1\|BB_1\|CC_1\|$ yo'nalishdagi birlik vektor bo'lsin. Quyidagi lemmadan foydalanamiz:
Lemma. Ixtiyoriy $XYZ$ uchburchak berilgan va $O$, $H$ orqali ushbu uchburchakning tashqi aylana markazi hamda ortomarkazi belgilangan bo'lsin. U holda $$\overline{OH} = \overline{OA}+\overline{OB}+\overline{OC}$$ bo'ladi.
Ushbu lemmadan foydalanadigan bo'lsak, $$\overline{OH_a}=\overline{OA}+\overline{OB_1}+\overline{OC_1}$$ va $$\overline{OH_b}=\overline{OB}+\overline{OC_1}+\overline{OA_1}$$ larni topamiz. Bularni ayirish orqali $$\overline{H_bH_a} = (\overline{OB_1}-\overline{OB}) - (\overline{OA_1}-\overline{OA}) = \overline{BB_1}-\overline{AA_1}$$
va $\overline{H_bH_a}\| \overline{u}$ ekanligi kelib chiqadi. Shunga o'xshash ravishda, $\overline{H_cH_b}\| \overline{u}$ va $\overline{H_aH_c}\| \overline{u}$ larni ham ko'rsatishimiz mumkin.
Xullas, vektorlar parallel ekanligidan $H_a$, $H_b$, $H_c$ larni bitta to'g'ri chiziqda yotishi kelib chiqadi. ▢
 |
| 1-chizma |
⧉ Qo'shimchalar:
- Ushbu to'g'ri chiziqda $ABC$ uchburchakning ortomarkazi ham yotishini ko'rsatish mumkin.
- $A_1BC$, $B_1CA$, $C_1AB$ uchburchaklarning ortomarkazlari ham ushbu to'g'ri chiziqda yotadi. Shuningdek, $A_1B_1C_1$ uchburchakning ortomarkazi ham ushbu to'g'ri chiziqqa tegishlidir.
Demak, jami sakkizta ortomarkaz bitta to'g'ri chiziqda yotadi.