IMO shortlistdan turli masalalar va ularning yechimlari (masalalar subyektiv oson-qiyinlik reytinggi bilan berilgan)
- E0 -- juda-juda oson masalalar (easy-0)
- EE -- juda oson, balkim nisbatan osonroq bo'lgan masalalar (easy-easy)
- EM -- osonroq, lekin birmuncha murakkabliklarga ega bo'lgan masalalar (easy-medium)
- MM -- nisbatan o'rtacharoq masalalar (medium-medium)
- MH -- o'rtacha, lekin birmuncha qiyinliklarga ega bo'lgan masalalar (medium-hard)
- HH -- qiyinroq masalalar (hard-hard)
- H1 -- juda qiyin masalalar (hard-1)
*yechimni ko'rish uchun masala oxiridagi linkga bosing!
IMO 2023/P6. $ABC$ muntazam uchburchak ichida $A_1$, $B_1$, $C_1$ nuqtalar olingan bo'lib, $BA_1=CA_1$, $CB_1=AB_1$, $AC_1=BC_1$ va \[ \angle BA_1C + \angle CB_1A+\angle AC_1B = 480^{\circ} \] shartlarni qanoatlantiradi. Aytaylik, $BC_1\cap CB_1 = A_2$, $CA_1\cap AC_1 = B_2$ va $AB_1\cap BA_1=C_2$. Faraz qilaylik, $A_1B_1C_1$ uchburchak turli tomonli. U holda $AA_1A_2$, $BB_1B_2$ va $CC_1C_2$ uchburchaklarning tashqi aylanalari coaxal ekanligini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
IMO 2023/P2. $ABC$ uchburchakda $AB<AC$ va $S$ nuqta $BAC$ katta yoyning o'rtasi bo'lsin. Aytaylik, uchburchakning $A$ dan tushirilgan balandligi tashqi aylanani ikkinchi bor $E$ nuqtada kesadi. $BS$ va $AE$ lar $D$ nuqtada kesishsin. $D$ nuqtadan $BC$ ga parallel qilib o'tkazilgan t/ch $BE$ bilan $L$ nuqtada uchrashsin. $(LBD)$ va $(ABC)$ aylanalar esa ikkinchi bor $P$ nuqtada kesishadi deb qaraylik. U holda $(LBD)$ aylanaga $P$ nuqtadan o'tkazilgan urinmaning $BS$ bilan kesishish nuqtasi bo'lmish $K$ nuqta, $BAC$ burchak bissektrisasida yotishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
IMO 2022/P4. $BC=DE$ bo'ladigan $ABCDE$ qavariq beshburchak berilgan. Faraz qilaylik, ushbu beshburchak ichida $TB=TD$, $TC=TE$ va $\angle ABT=\angle TEA$ bo'ladigan $T$ nuqta mavjud. $AB$ to'g'ri chiziq $CD$ va $CT$ to'g'ri chiziqlarni mos ravishda $P$ va $Q$ nuqtalarda kesib o'tadi. Aytaylik, $P$, $B$, $A$, $Q$ nuqtalar ko'rsatilgan tartibda bitta to'g'ri chiziqda yotadi. $AE$ to'g'ri chiziq ham $CD$ va $DT$ to'g'ri chiziqlarni mos ravishda $R$ va $S$ nuqtalarda kesib o'tib, $R$, $E$, $A$, $S$ nuqtalar keltirilgan tartibda bitta to'g'ri chiziqda yotadi. U holda $P$, $S$, $Q$, $R$ nuqtalar bir aylanada yotishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
IMOSL 2022/G3. Aytaylik, $ABCD$ siklik to`rtburchak berilgan. $AB$ tomon yotgan to`g`ri chiziqda $Q$ va $P$ nuqtalar shunday olingan-ki, $Q$, $A$, $B$, $P$ nuqtalar berilgan tartibda to`g`ri chiziqda yotadi. Faraz qilaylik, $AC$ to`g`ri chiziq $ADQ$ uchburchakning tashqi aylanasiga, $BD$ to`g`ri chiziq esa $BCP$ uchburchakning tashqi aylanasiga urinma bo'ladi. $M$ va $N$ nuqtalar mos ravishda $BC$ va $AD$ kesmalarning o'rtalari bo`lsin. U holda $ANQ$ uchburchakning tashqi aylanasiga $A$ nuqtadan o`tkazilgan urinma, $BMP$ uchburchakning tashqi aylanasiga $B$ nuqtada o`tkazilgan urinma va $CD$ to`g`ri chiziqlar konkurrent ekanligini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
IMO 2021/P4. $I$ markazli $\Gamma$ aylana va $ABCD$ qavariq to'rtburchak berilgan, bunda $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ kesmalar $\Gamma$ ga urinadi. Aytaylik, $\Omega$ orqali $AIC$ uchburchakning tashqi aylanasi belgilangan va $BA$ ni $A$ nuqtadan davom ettirsak $\Omega$ ni $X$ nuqtada, $BC$ ni $C$ nuqtadan davom ettirsak $\Omega$ ni $Z$ nuqtada kesib o'tadi. Bundan tashqari, $AD$ va $CD$ larni $D$ nuqta orqali davom ettirsak $\Omega$ ni mos ravishda $Y$ va $T$ nuqtada kesib o'tadi. Isbotlang: \[ AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC. \] [yechim va mulohazalar]
IMO 2021/P3. Aytaylik, o'tkir burchakli $ABC$ uchburchak berilgan, bunda $AB>AC$. $D$ nuqta uchburchak ichida olingan bo'lib, $\angle BAD = \angle DAC$ burchaklar tengligi bajariladi. $E$ nuqta esa $AC$ tomonda aniqlangan bo'lib, $\angle ADE = \angle DCB$ tenglik bajariladi. Xuddi shunday, $AB$ tomonda $F$ nuqta aniqlangan bo'lib, $\angle ADF = \angle DBC$ tenglik bajariladi. Bundan tashqari, $AC$ to'g'ri chiziqda $XC=XB$ shartni qanoatlantiruvchi $X$ nuqta ham olingan. Aytaylik, $O_1$ va $O_2$ nuqtalar $ADC$ va $DXE$ uchburchaklarning tashqi aylana markazlari bo'lsin. U holda $BC$, $EF$ va $O_1O_2$ lar bir nuqtada kesishishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
IMOSL 2021/G1. Aytaylik, $AC=BC$ bo'lgan $ABCD$ parallelogram berilgan. $P$ nuqta esa $AB$ nur davomida olingan bo'lib, $ACD$ uchburchak tashqi aylanasi $PD$ kesmani ikkinchi bor $Q$ nuqtada, $APQ$ uchburchak tashqi aylanasi $PC$ kesmani $R$ nuqtada kesib o'tadi. U holda $CD$, $AQ$, $BR$ to'g'ri chiziqlar bir nuqtada kesishishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
IMO 2020/P1. $ABCD$ qavariq to'rtburchak berilgan. Aytaylik, $P$ nuqta $ABCD$ ning ichki sohasida olingan bo'lib, quyidagi shartni qanoatlantiradi: \[ \angle PAD : \angle PBA : \angle DPA = 1:2:3=\angle CBP : \angle BAP : \angle BPC. \] U holda $\angle ADP$ va $\angle PCB$ burchaklarning ichki bissektrisalari $AB$ kesmaning o'rta perpendikulyarida kesishishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
IMO 2019/P6. Aytaylik, $AB\neq AC$ bo'lgan o'tkir burchakli $ABC$ uchburchakning ichki aylanasi $\omega$ va ichki aylana markazi $I$ nuqta bo'lsin. $\omega$ ichki aylana uchburchakning $BC$, $CA$, $AB$ tomonlariga mos ravishda $D$, $E$, $F$ nuqtalarda urinadi. $D$ nuqtadan $EF$ ga tushirilgan perpendikulyar $\omega$ ni ikkinchi bor $R$ nuqtada kesib o'tadi; $AR$ esa $\omega$ ni ikkinchi bor $P$ nuqtada kesadi. Aytaylik, $PCE$ va $PBF$ uchburchaklarning tashqi aylanalari ikkinchi bor $Q$ nuqtada kesishadi. U holda $DI$ va $PQ$ to'g'ri chiziqlar $AI$ ga $A$ nuqtadan o'tkazilgan perpendikulyarda kesishishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
IMO 2019/P2. Aytaylik, $ABC$ uchburchakning $BC$ tomonida $A_1$ nuqta, $AC$ tomonida $B_1$ nuqta tanlangan. $P$ va $Q$ nuqtalar esa mos ravishda $AA_1$ va $BB_1$ kesmalarda yotib, $PQ\parallel AB$ start bajariladi. Aytaylik, $PB_1$ va $QA_1$ chiziqlarda mos ravishda $\angle PP_1C = \angle BAC$ va $\angle CQ_1Q=\angle CBA$ shartlarni qanoatlantiruvchi $P_1$ va $Q_1$ nuqtalar olingan, bunda $B_1$ nuqta $PP_1$ kesmaning, $A_1$ nuqta esa $QQ_1$ kesmaning qat'iy ichki sohasida yotadi. U holda $P$, $Q$, $P_1$, $Q_1$ nuqtalar bitta aylanada yotishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
IMO 2018/P6. Aytaylik, bizga $AB\cdot CD=BC\cdot DA$ bo'ladigan $ABCD$ qavariq to'rtburchak berilgan. $M$ nuqta qavariq to'rtburchak ichida yotib, $\angle MAB=\angle MCD$ va $\angle MBC=\angle MDA$ burchak tengliklarini qanoatlantiradi. U holda $\angle BMA+\angle DMC = 180^{\circ}$ ni isbotlang. [yechim va mulohazalar]
IMO 2018/P1. Aytaylik, $\Gamma$ orqali $ABC$ o'tkir burchakli uchburchakning tashqi aylanasi belgilangan. $D$ va $E$ nuqtalar mos ravishda $AB$ va $AC$ tomonlarda yotib, $AD=AE$ tenglikni qanoatlantirishadi. Aytaylik, $BD$ va $CE$ kesmalarning o'rta perpendikulyarlari mos ravishda $\Gamma$ ning $AB$ va $AC$ kichik yoylarini $F$ va $G$ nuqtalarda kesib o'tadi. U holda $DE$ va $FG$ lar o'zaro parallel yoki aslida bitta to'g'ri chiziq bo'lishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
IMO 2017/P4. $\Omega$ aylana va unda yotadigan $R$, $S$ nuqtalar berilgan, bunda $RS$ aylana diametri emas. Ushbu aylanaga $R$ nuqtadan $\ell$ urinma o'tkazilgan. Aytaylik, $RS$ to'g'ri chiziqda $T$ nuqta shunday tanlangan-ki, bunda $S$ nuqta $RT$ kesmaning o'rtasi bo'ladi. Bundan tashqari, $\Omega$ aylananing $RS$ kichik yoyida $J$ nuqta shunday tanlangan, bunda $JST$ uchburchak tashqi aylanasi bo'lmish $\Gamma$ aylana $\ell$ to'g'ri chiziqni ikkita turli nuqtalarda kesib o'tadi; $A$ ushbu nuqtalarning $R$ ga yaqinrog'i bo'lsin. Aytaylik, $AJ$ to'g'ri chiziq $\Omega$ aylanani ikkinchi bor $K$ nuqtada kesadi. U holda $KT$ to'g'ri chiziq $\Gamma$ aylanaga urinma bo'lishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
IMOSL 2017/G5. $ABCC_1B_1A_1$ qavariq oltiburchak berilgan, bunda $AB=BC$. Faraz qilaylik, $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ lar bir xil o`rta perpendikulyarlarga ega. $AC_1$ va $CA_1$ lar $D$ nuqtada kesishadi. Aytaylik, $ABC$ ning tashqi aylanasi $\omega$ bo`lsin va u $A_1BC_1$ ning tashqi aylanasini ikkinchi bor $E$ nuqtada kesadi. Isbotlang: $BB_1$ va $DE$ laening kesishish nuqtasi $\omega$ aylanada yotadi. [yechim va mulohazalar]
IMO 2016/P1. $BCF$ to'g'ri burchakli uchburchak berilgan, $\angle CBF=90^{\circ}$. Aytaylik, $CF$ to'g'ri chiziqda $FA=FB$ bo'ladigan $A$ nuqta tanlangan, bunda $F$ nuqta $A$ va $C$ nuqtalar orasida yotadi. $D$ nuqta $DA=DC$ bo'ladigan qilib tanlangan, bunda $\angle DAB$ burchak bissektrisasi $AC$ bo'ladi; $E$ nuqta esa $EA=ED$ bo'ladigan qilib tanlangan, bunda $\angle EAC$ burchak bissektrisasi $AD$ bo'ladi. $CF$ kesma o'rtasi $M$ nuqta bo'lsin. $X$ nuqta shunday tanlangan-ki, $AMXE$ - parallelogram bo'ladi. Isbotlang: $BD$, $FX$ va $ME$ to'g'ri chiziqlar concurrent. [yechim va mulohazalar]
IMOSL 2012/G8. Aytaylik, $ABC$ uchburchakda $O$ nuqta orqali uning tashqi aylana markazi belgilangan bo'lsin. $\ell$ to'g'ri chiziq $ABC$ uchburchakning $BC$, $CA$, $AB$ tomonlarini mos ravishda $X$, $Y$, $Z$ nuqtalarda kesib o'tadi. $P$ nuqta $O$ ning $\ell$ dagi proyeksiyasi bo'lsin. U holda $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$ lar orqali mos ravishda $APX$, $BPY$, $CPZ$ uchburchaklarning tashqi aylanalari belgilangan bo'lsa, ushbu aylanalarni o'zaro coaxal bo'lishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
IMO 2012/P5. $ABC$ to'g'ri burchakli uchburchakda $C$ to'g'ri burchagidan tushirilgan balandligi asosi $D$ nuqta bo'lsin. Aytaylik, $CD$ kesmaning ichki qismida biror $X$ nuqta olingan; $AX$ kesmada $BK=BC$ shartni qanoatlantiruvchi $K$ nuqta, $BX$ kesmada $AL=AC$ shartni qanoatlantiruvchi $L$ nuqta belgilangan. Aytaylik, $AL$ va $BK$ lar $M$ nuqtada kesishadi. U holda $MK=ML$ bo'lishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
IMO 2012/P1. Aytaylik, $ABC$ uchburchak berilgan; $A$ uchiga mos keluvchi tashqi-ichki aylanasi markazi $J$ nuqta bo`lib, tashqi-ichki aylananing o'zi $BC$ tomonga $M$ nuqtada, $AB$ va $AC$ to'g'ri chiziqlarga mos ravishda $K$ va $L$ nuqtalarda urinadi. $LM$ va $BJ$ to'g'ri chiziqlar $F$ nuqtada, $KM$ va $CJ$ to'g'ri chiziqlar esa $G$ nuqtada kesishsin. Aytaylik, $S$ nuqta orqali $AF$ va $BC$ to'g'ri chiziqlar kesishmasi, $T$ nuqta orqali esa $AG$ va $BC$ to'g'ri chiziqlar kesishmasi belgilangan. U holda $M$ nuqta $ST$ kesma o'rtasi bo'lishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
IMO 2011/P6. $ABC$ o'tkir burchakli uchburchak va uning tashqi aylanasi $\Gamma$ berilgan. Aytaylik, $\Gamma$ aylanaga urinuvchi biror $\ell$ to'g'ri chiziq olingan, va $\ell_a$, $\ell_b$, $\ell_c$ to'g'ri chiziqlar $\ell$ ning mos ravishda $BC$, $CA$, $AB$ tomonlarga nisbatan simmetrik ko'chirishlari bo'lsin. U holda $\ell_a$, $\ell_b$, $\ell_c$ to'g'ri chiziqlarning kesishishi natijasida hosil bo'lgan uchburchakning tashqi aylanasi $\Gamma$ ga urinishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
IMO 2009/P4. $AB=AC$ bo'lgan $ABC$ teng yonli uchburchak berilgan. $\angle CAB$ va $\angle ABC$ burchaklarning bissektrisalari mos ravishda $BC$ va $CA$ tomonlarni $D$ va $E$ nuqtalarda kesadi. Aytaylik, $K$ nuqta orqali $ADC$ uchburchakning ichki aylana markazi olingan. Faraz qilaylik, $\angle BEK = 45^{\circ}$ bo'lsin. $\angle CAB$ ning barcha qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlarini aniqlang. [yechim va mulohazalar]