Balkan MO 2017 ning 2-masalasi:
▻ Bizga biror $ABC-$o`tkir burchakli uchburchak berilgan bo`lsin ($AB<AC$); $(O)$-ushbu uchburchakning tashqi aylanasi. Aytaylik, $(O)$ ga $B$ va $C$ nuqtalardan mos ravishda $l_b$ va $l_c$ urinmalar o`tkazilgan; ushbu urinmalar $L$ nuqtada kesishadi. Aytaylik, $B$ nuqtadan $AC$ ga parallel qilib o`tkazilgan to`g`ri chiziq bilan $l_c$ urinma $D$ nuqtada, $C$ nuqtadan $AB$ ga parallel qilib o`tkazilgan to`g`ri chiziq bilan $l_b$ urinma $E$ nuqtada kesishadi. $BDC$ ning tashqi aylanasi $AC$ ni ikkinchi bor $T$ nuqtada ($T$ nuqta $A$ va $C$ ning orasida yotadi), $BEC$ ning tashqi aylanasi $AB$ ni ikkinchi bor $S$ nuqtada ($B$ nuqta $S$ va $A$ ning orasida yotadi) kesadi. U holda $ST$, $AL$, $BC$ lar bir nuqtada kesishishini isbotlang.
-------------------------------------------------------------------
Yechish. Masalada berilgan shartlardan \[ AC^2 = AB\cdot AS \quad \text{va}\quad AB^2 = AT\cdot AC \] ni ko'rish qiyin emas. Demak, \[ AT= \frac{AB^2}{AC} \quad \text{va} \quad AS = \frac{AC^2}{AB}. \] Bundan $ABT \sim ASC$, yani $BT\| SC$ kelib chiqadi.
 |
| 1-chizma |
$BTCS$ - trapetsiya ekan, biz bilamiz-ki, $ABT$ va $ASC$ larning medianalari ustma-ust tushib, trapetsiya diagonallari kesishish nuqtasi ham ushbu mediana yotgan to'g'ri chiziqda bo'ladi. Demak, $ABT$ uchburchakning medianasi $ABC$ uchburchak uchun symmediana bo'lishini ko'rsatish qoldi, xolos (ma'lum-ki, $AL$ to'g'ri chiziq $ABC$ ning symmedian to'g'ri chizig'i bo'ladi). Bu esa unchalik qiyin emas, $\frac{AT}{AB} = \frac{AB}{AC}$ dan keltirish mumkin. ▢
Alternativ yo'l: Yuqoridagi yechimda boshqacharoq yo'l tutish orqali alternativ yechim keltirish ham mumkin. Xuddi shu $BT\| SC$ ni va umuman $ABT$, $ASC$ uchburchaklarning ikkalasini ham $ABC$ ga o'xshash ekanligini keltirsa bo'ladi: \[ \angle ABT = \angle BCT = \angle BEC = \angle BSC. \] Bundan $BT\| SC$ lar $BC$ ga anti-parallel ekanligi keladi; demak, $ABC$ ning symmedianasi(t/ch) $ABT$ va $ASC$ uchburchaklar uchun mediana(t/ch) vazifasini bajaradi.