Quyidagi masalani qaraylik:
▻ $\triangle ABC$ ning $AB$ va $AC$ tomonlarida shunday $N$ va $M$ nuqtalar tanlangan-ki, bunda $BN=CM$. Aytaylik, $BM$ va $CN$ kesmalarning o'rtalari mos ravishda $B_1$ va $C_1$ bo'lsin. U holda $B_1C_1$ to'g'ri chiziq $\angle A$ ning bissektrisasi yotgan to'g'ri chiziqga perpendikulayar ekanligini isbotlang.
Ushbu konfiguratsiya uchburchaklar geometriyasida juda muhim konfiguratsiyalardan biridir va ko'plab qiziqarli natijalarni keltirib chiqarish mumkin. Eng mashhur natijalardan biri, albatta allaqachon folklorga aylanib ulgurgan, $AB$, $AC$, $NM$, $BC$ chiziqlar uchun Mikel nuqtasi $ABC$ uchburchak tashqi aylanasining $BAC$ katta yoyining o'rtasi bo'lishi haqidagisidir.
🔖 O'xshash masalalarni ko'rish uchun:
⬩ARMO 2014 (nechanchi masala deysizmi?! ishonchim komil-ki, bir qarashda masalani topasiz ☺)
⬩239 School, Open MO 2023, Senior, P2
⬩IZHO 2006, P2
-------------------------------------------------------------------
Yechish. Biz $\overline{B_1C_1}\perp \overline{u}$ ni ko'rsatamiz, bu yerda $\overline{u}$ $-$ $\angle A$ ning bissektrisasi yo'nalishidagi birlik vektor. Bilamiz-ki, \[ \overline{B_1C_1} = \overline{B_1B}+\overline{BN}+\overline{NC_1} \] va \[ \overline{B_1C_1} = \overline{B_1M}+\overline{MC}+\overline{CC_1}. \] Yuqoridagi ikkita qatorni qo'shish orqali \[ 2\overline{B_1C_1} = \overline{BN}+\overline{MC} \] ni topamiz. |
| 2-chizma |
Aytaylik, uchburchakning $AB$ va $AC$ tomonlarida $AN'=BN$ va $AM'=CM$ shartni qanoqatlantiruvchi $N'$ va $M'$ nuqtalar olingan (2-chizma ga qarang). U holda bizda teng yonli bo'lgan $AN'M'$ uchburchak bor ($AN'=AM'$), va $\angle A$ ning bissektrisasi $N'M'$ ga perpendikulyar bo'ladi, ya'ni $\overline{u}\perp \overline{N'M'}$. Boshqa tomondan, \[ 2\overline{B_1C_1} = \overline{BN}+\overline{MC} = \overline{N'A}+\overline{AM'} = \overline{N'M'}, \] va bundan $\overline{B_1C_1}\perp \overline{u}$ ekanligi keladi. Isbot tugadi. ▢
Yuqoridagi isbotdan, qo'shimcha ravishda $\overline{N'M'} = 2\overline{B_1C_1}$ ham keldi. Demak, $N'M' \| B_1C_1$ va $N'M' = 2B_1C_1$ lar ham bajariladi.