School 239 MO, 2023 / Junior / P7

▻ Aytaylik, $ABCD$ qavariq to'rtburchakning diagonallari $E$ nuqtada kesishadi. Faraz qilaylik, $AEB$ va $DEC$ uchburchaklar umumiy $\omega$ tashqi-ichki aylanalarga ega; $\omega$ aylana $AE$ va $DE$ tomonlarga mos ravishda $B_1$ va $C_1$ nuqtalarda urinadi. $I$ va $J$ nuqtalar mos ravishda $AEB$ va $DEC$ uchburchaklarning ichki aylana markazlari bo'lsin. Aytaylik, $IC_1$ va $JB_1$ kesmalar $S$ nuqtada kesishadi. Agar $S$ nuqtaning $\omega$ aylanada yotishi ma'lum bo'lsa, u holda $AED$ uchburchakning tashqi aylanasi $\omega$ aylanaga urinishini isbotlang.

Ushbu masalada, yashiringan mixtilinear bor. Har doim ikkita urinuvchi aylanalar haqida gap ketsa, doim mixtilinear, curvilinear (Sawayama aylanasi) aylanalarni yoki ba'zi holatlarda Keysi (umumlashgan Ptolemey) teoremasini, ular haqidagi ma'lum faktlarni esga solish lozim (foydasi bor!); ayniqsa, P3 yoki P6 kabi medium-hard, hard-hard masalalarda...

🔖 Masalan, quyidagi ajoyib geolarni ko'ring:

⬩ARMO 2013 (adashmasam 11.8 (Kungojin masalasi))

⬩IMO 2011, P6 (Yaponiya tomonidan taklif etilgan)

⬩Serbia 2017, P6 (revolyutsion masala, tavsiya etiladi)

⬩USA TST 2016, P2 

⬩IMO 2019, P6

⬩IMO 2014 Shortlist G7

-------------------------------------------------------------------

Yechish.  Aytaylik, $M$ nuqta $B_1C_1$ ning o'rtasi bo'lsin. $EB_1=EC_1$ va $M$ nuqta $\angle AED$ ning bissektrisasida yotadi. Agar biz $M$ nuqtani $\triangle AED$ ning ichki aylana markazi bo'lishini ko'rsata olsak, $\omega$ aylana $\triangle AED$ ning mixtilinear aylanasi bo'ladi va u tashqi aylanaga urinadi. Demak, $M$ nuqtani ichki aylana markazi bo'lishini, boshqacha qilib aytganda, $\angle AMD = 90^{\circ}+\frac{\varphi}{2}$ ekanligini 

ko'rsatish kifoya, bu yerda $\varphi:=\angle AED$ (1-chizma ga qarang).  

1-chizma

Bilamiz-ki, $B_1C_1\parallel IJ$ (ikkalasi ham $\angle AED$ ning bissektrisasiga perpendikulyar) va $\angle EIC_1 = \angle B_1C_1I$, $\angle EJB_1=\angle C_1B_1J$. 

$S$ nuqtaning $\omega$ aylanada yotishi, bizga $\angle B_1SC_1 = 90^{\circ}+\frac{\varphi}{2}$ ni beradi. Bundan tashqari, urinma va vatar orasidagi burchakdan, $\angle EB_1J = \angle SC_1B_1$ va $\angle EC_1I = \angle SB_1C_1$ ham keladi. Xullas, bizda bir nechta o'xshash uchburchaklar mavjud: $\triangle IEC_1 \sim \triangle JEB_1\sim \triangle ISJ \sim \triangle B_1SC_1$. 

Yuqoridagi o'xshashliklardan, \[ \frac{EB_1}{EI} = \frac{EJ}{EC_1} \quad \Rightarrow \quad EB_1^2=EC_1^2=EI\cdot EJ \] ekanligi keladi. Bundan tashqari, bizda $AB_1 = IE\cdot \sin \frac{\varphi}{2}$ va $DC_1 = JE \cdot \frac{\varphi}{2}$ lar ham bor. Bulardan \[ AB_1\cdot DC_1 = EI\cdot EJ\cdot \sin^2 \frac{\varphi}{2} = EB_1^2 \cdot \sin^2 \frac{\varphi}{2} = B_1M^2=C_1M^2 \] ekanligini topishimiz mumkin; ya'ni, $\angle AB_1M = \angle DC_1M$ dan $\triangle AB_1M \sim \triangle DC_1M$ bo'ladi. Demak, $\angle B_1AM = \angle C_1MD$, $\angle B_1MA = \angle C_1DM$ va \[ \angle AMD = \angle B_1AM + \angle C_1DM +\varphi = 90^{\circ}-\frac{\varphi}{2}+\varphi = 90^{\circ} + \frac{\varphi}{2}. \] Isbot tugadi.   ▢