IMO SL 2017, G5:
▻ $ABCC_1B_1A_1$ qavariq oltiburchak berilgan, bunda $AB=BC$. Faraz qilaylik, $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ lar bir xil o`rta perpendikulyarlarga ega. $AC_1$ va $CA_1$ lar $D$ nuqtada kesishadi. Aytaylik, $ABC$ ning tashqi aylanasi $\omega$ bo`lsin va u $A_1BC_1$ ning tashqi aylanasini ikkinchi bor $E$ nuqtada kesadi. Isbotlang: $BB_1$ va $DE$ laening kesishish nuqtasi $\omega$ aylanada yotadi.
Ushbu masala, UZB TST 2018 da ham ko'rinish bergan!
-------------------------------------------------------------------
Ko'rish qiyin emas-ki, $AC$, $BE$, $A_1C_1$ t/ch lar concurrent bo'ladi. Berilgan shartdan, $ACC_1A_1$ ning teng yonli trapetsiya ekanligi keladi, ya'ni unga tashqi aylana chizish mumkin va $(ACC_1A_1)$, $\omega$, $(A_1BC_1)$ aylanalarning umumiy radikal o'qlari bir nuqtada kesishadi.
Aytaylik, $AC\cap A_1C_1 = P(.)$ bo'lsin. U holda masalaga boshqacha qarash mumkin:
$AEC$ uchburchakda $\angle AEC$ ning tashqi bissektrisasi $AC$ tomonni $P(.)$ da, tashqi aylanasi $\omega$ ni esa $B(.)$ da kesib o'tadi. $P$ nuqtadan ixtiyoriy $\ell$ t/ch o'tkazamiz, va $A$, $C$ nuqtalarni ushbu t/ch ga nisbatan symmetrik nuqtalari $A_1$, $C_1$ larni aniqlaymiz. $A_1C\cap AC_1 = D(.)$ va $B$ dan $\ell$ ga o'tkazilgan perpendikulyar $\omega$ ni ikkinchi bor $L(.)$ da kesib o'tsin. U holda $E$, $D$, $L$ nuqtalar collinear bo'ladi.
Yechim. Quyidagi chizma bo'yicha davom etamiz:
 |
| 2-chizma |
Aytaylik, $M$ nuqta $AC$ ning o'rtasi, $BM$ esa $\omega$ ni $K$ nuqtada kesib o'tadigan bo'lsin. U holda $EK$ t/ch $\angle AEC$ ning bissektrisasi bo'ladi. Aytaylik, $EK\cap AC=N(.)$ bo'lsin. Albatta, $\{A,N,C,P\}$ nuqtalar harmonik bo'lishi lozim.
$\triangle ADC$ da $DP$ ning tashqi bissektrisa ekanligidan $DN$ ning ichki bissektrisa bo'lishi keladi (harmoniklikdan). Xullas, $AEC$ va $ADC$ uchburchaklar umumiy Apollon aylanalariga ega ekan, qaysi-kim, $PN$ diametrli aylana. Bundan, $\angle NDP=90^{\circ}$ va $ND\parallel BL$ keladi. \[ \angle EDN = \angle EPN = \angle EPM = \angle EKM = \angle EKB = \angle ELB \] va $ED\parallel EL$ ekan; ya'ni $E$, $D$, $L$ nuqtalar collinear. ▢