▻ $ABCD$ trapetsiyada $CD$ tomonda shunday $M$ nuqta olingan-ki, $BM=BC$ bo'ladi. Aytaylik, $BM\cap AC=K(.)$ va $BC\cap DK=L(.)$. U holda $\angle BML = \angle DAM$ ni isbotlang.
Ushbu masala 2023 yil "agentlik olimpiadasi" deb nomlanuvchi musobaqaning 10-sinf o'quvchilari uchun tuzilgan masalalar varaqida (Respublika bosqichi) bor edi.
-------------------------------------------------------------------
Yechish. Quyidagi 1-chizma bo'yicha harakat qilamiz. Aytaylik, $AM$ t\ch $BC$ t\ch bilan $X$ nuqtada kesishadi. U holda $\angle DAM = \angle BXM$ dan, biz $BM$ ni $(\triangle LMX$) ga urinma ekanligini ko'rsatishimiz lozim bo'ladi, va bu $BM^2=BC^2=BL\cdot BX$ deganidir. Quyida biz ushbu tenglikni ko'rsatamiz.
 |
| 1-chizma |
$\triangle DLC$ uchun $\overline{BKM}$ t\ch ga nisbatan Menelay teoremasini qo'llaydigan bo'lsak, \[ \frac{BC}{BL} = \frac{CM}{DM}\cdot \frac{DK}{LK} \quad \quad (1)\] ni topamiz. $\triangle ACX$ uchun $\overline{BKM}$ t\ch ga nisbatan Menelay teoremasini qo'llash orqali esa \[ \frac{BC}{BX} = \frac{CK}{AK}\cdot \frac{AM}{XM} \quad \quad (2) \] ni topamiz. Yuqoridagi $(1)$ va $(2)$ tengliklarni bir-biriga ko'paytirish orqali, shuni ko'rishimiz mumkin-ki, \[ \frac{BC^2}{BL\cdot BX} = \left( \frac{CM}{DM}\cdot \frac{AM}{XM} \right) \cdot \left( \frac{DK}{LK}\cdot \frac{CK}{AK} \right) = 1. \] Qavs ichidagilarning o'zaro qisqarib ketishi $ACXD$ va $ALCD$ trapetsiyalardagi diagonallari ajratgan uchburchaklarning o'xshashliklar bilan bog'liq. Isbot tugadi. ▢