isogonal + harmonik nuqtalar (IZHO)

Quyidagi masala juda ajoyib! Apollon aylanalari, harmonik nuqtalar, isogonalllik, xullas barchasini o'z ichiga oladi.  

▻ $ABC$ uchburchak ichida $M$ nuqta olingan bo'lib, $BM$ va $AC$ t/ch lar $N$ nuqtada kesishadi. $K$ nuqta $M$ nuqtaning $AC$ nisbatan simmetrigi bo'lib, $BK\cap AC = P(.)$  deylik. Agar $\angle ABP = \angle CBN$ bo'lsa, u holda $\angle AMP=\angle CMN$ ni isbotlang. 

Masala IZHO 2015 (2-masala) da taqdim qilingan.

-------------------------------------------------------------------

Masala bizga shuni aytmoqdaki, $BP$ va $BN$ lar $\angle ABC$ da o'zaro isogonal nuqtalar bo'lar ekan, u holda $MP$ va $MN$ lar ham $\angle AMC$ ga nisbatan o'zaro isogonal chiziqlar bo'lishini ko'rsatishimiz lozim. Isogonallikdan \[ \frac{AP}{CP}\cdot \frac{AN}{CN}=\frac{AB^2}{BC^2} \] keladi, va bizga \[ \frac{AP}{CP}\cdot \frac{AN}{CN}=\frac{AM^2}{MC^2} \] ni isbotlash so'rolmoqda. Demak, \[ \frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MC} \] ni ko'rsatish yetarli.  

Yechim. Aytaylik, $\angle ABC$ ning ichki va tashqi bissektrisasi $AC$ t/ch ni mos ravishda $X$ va $Y$ nuqtalarda kesib o'tsin (1-chizma ga qarang).

1-chizma

U holda $\{Y,A,X,C\}$ nuqtalar harmonik bo'ladi. Isogonallikdan ko'rishimiz mumkin-ki, $BX$ t/ch $\angle PBN$ uchun ham bissektrisa ekanligidan, $\{Y,P,X,N\}$ to'rtlikning ham harmonik ekanligi keladi. $\angle MPX = \angle KPX$ dan $X$ nuqta $BPM$ uchburchakning tashqi-ichki aylanasi markazi bo'ladi. Demak, $\angle PMN$ burchak uchun $MX$ bissektrisa, va $MY$ tashqi bissektrisa bo'lishi lozim (harmoniklikdan). Bundan $M$ nuqta $YX$ diametrli aylanada (Apollon aylanasi) yotishi keladi. Xullas, $\displaystyle \frac{AM}{MC} = \frac{AX}{CX} = \frac{AB}{BC}$ va isbot tugadi.   ▢