IRAN TST 2009 ning quyidagi masalasini qaraylik:
▻ $ABC$ uchburchakning ichki aylanasi $BC$, $CA$, $AB$ tomonlariga mos ravishda $D,E,F$ nuqtalarda urinadi. Aytaylik, $D$ nuqtadan $EF$ ga $DM$ perpendikulyar tushirilgan ($M\in EF$), $P$ nuqta esa $DM$ ning o'rtasi bo'lsin. Agar $H$ nuqta $BIC$ uchburchakning ortomarkazi bo'lsa, u holda $PH$ t/ch $EF$ ni teng ikkiga bo'lishini isbotlang.
-------------------------------------------------------------------
Yechim. Aytaylik, $N$ nuqta $EF$ ning o'rtasi bo'lsin. Biz $H,N,P$ nuqtalarning collinear ekanligini ko'rsatamiz (1-chizma ga qarang).
 |
| 1-chizma |
Bizda quyidagi natijalar bor:
Ushbu natijalardan kelib chiqib, shuni topamiz-ki, $BIC$ uchburchak balandliklari asoslari $EF$ t/ch da yotishi keladi. Aytaylik, ushbu balandliklar $BB_1$ va $CC_1$ bo'lsin, bunda $B_1,C_1\in EF$. Tabiiy-ki, $B_1DC_1$ uchburchakning ichki aylana markası $I$ nuqta, va tashqi-ichki aylana markaları $B,C,H$ nuqtalar bo'ladi.
Demak, $B_1DC_1$ uchburchakda $H$-tashqi-ichki aylanasi markazi, $N$-ichki aylanasining urinish nuqtasi, $P$-balandligining o'rtasi collinearligini ko'rsatish qolmoqda. Bu esa "well-known" natijadir (yuqoridagi ikkinchi linkka qarang). ▢