ARMO 2021, 11-sinf, 4-masalasini qaraylik:
▻ Aytaylik, $ABC$ uchburchakning $AA_1$ va $CC_1$ bissektrisalari $I$ nuqtada kesishadi. $B$ nuqtadan $AC$ ga parallel qilib t/ch o`tkazilgan va bu t/ch $AA_1$, $CC_1$ lar bilan mos ravishda $A_2$, $C_2$ nuqtalarda kesishadi. Aytaylik, $O_a$ nuqta $AC_1C_2$ uchburchakning, $O_c$ nuqta esa $CA_1A_2$ uchburchakning tashqi aylana markazi bo'lsin. Isbotlang: $\angle O_aBO_c = \angle AIC$.
-------------------------------------------------------------------
Yechim. Aytaylik, $F$ va $D$ nuqtalar $AB$ va $BC$ yoylarning o'rtalari bo'lsin (1-chizma ga qarang). U holda $\angle DBF = 90^{\circ} + \frac{\angle B}{2} = \angle AIC$, va biz $\angle DBF = \angle O_aBO_c$ ni isbotlashimiz yetarli.
 |
| 1-chizma |
Agar $AF\cap BC_2 = L(.)$ deydigan bo'lsak, $\angle C_2LA = \angle A + \frac{\angle C}{2} = \angle C_2C_1A$ keladi va $AC_1C_2$ ning tashi aylanasini $L$ dan o'tishi keladi. Demak, $(O_a)$ aylana bu $C_2LC_1A$ cyclic to'rtburchakning tashqi aylanasidir.
Bilamiz-ki, agar $B$ ning $(O_a)$ dagi polar o'qini $FT$ bilan belgilasak, bu yerda $T$ nuqta polar o'qning $(ABC)$ bilan ikkinchi bor kesishish nuqtasi, u holda $F$ markazli pencillar $\{FB,FC_1,FT,FA\}$ harmonik bo'ladi. Bu degani, $ABCT$ ning harmonik to'rtburchak deganidir. Demak, $T$ nuqta $A-$simmediananing tashqi aylanani kesish nuqtasi ekan (fiksrlangan nuqta). Xuddi shunday, $B$ ning $(O_c)$ dagi polar o'qining ham $T$ dan o'tishini keltirishimiz mumkin ($DT$ polar o'q bo'ladi).
Bundan tashqari, ushbu polar o'qlarning bittasi $BO_a$ ga ikkinchisi $BO_c$ ga perpendikulyar bo'ladi, ya'ni \[ \angle O_aBO_c = 180^{\circ} - \angle FTD = \angle DBF \] va isbot tugadi. ▢