coaxal aylanalar (IMO SL 2012, G8)

sana:

IMO Shortlist 2012, G8:

▻ Aytaylik, $ABC$ uchburchakda $O$ nuqta orqali uning tashqi aylana markazi belgilangan bo'lsin. $\ell$ to'g'ri chiziq $ABC$ uchburchakning $BC$, $CA$, $AB$ tomonlarini mos ravishda $X$, $Y$, $Z$ nuqtalarda kesib o'tadi. $P$ nuqta $O$ ning $\ell$ dagi proyeksiyasi bo'lsin. U holda $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$ lar orqali mos ravishda $APX$, $BPY$, $CPZ$ uchburchaklarning tashqi aylanalari belgilangan bo'lsa, ushbu aylanalarni o'zaro coaxal bo'lishini isbotlang.

Ushbu ajoyib masalani yechish orqali coaxallikni isbotlash talab qiladigan geometrik masalalarga qanday yondashish haqida yaxshigina tushunchaga ega bo'lishimiz mumkin.

1-yechim. (coaxallik locusi) O'zi coaxal aylanalar deganda nimani tushunamiz? Aytaylik, bizga ikkita $\omega_1$ va $\omega_2$ aylana berilgan bo'lsin. Ularga coaxal (yoki coaxial) aylanani qanday yasaymiz? 

Coaxallikning asosiy ma'nosi umumiy radikal o'qga ega bo'lishdir. $\omega_1$ va $\omega_2$ larga coaxial bo'ladigan ixtiyoriy $\omega$ aylananing locusi \[ \frac{\mathrm{Pow}_{\omega_1} (M)}{\mathrm{Pow}_{\omega_2} (M)} = k \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{Pow}_{\omega_1} (M) - k\,\cdot \mathrm{Pow}_{\omega_2} (M)= 0 \] tenglamani qanoatlantiradigan $M$ nuqtalar to'plamidan iborat. Buni ba'zi hollarda, aylanalar ucun Apollon aylanari deyish ham mumkin (nuqtalar uchun ham shunaqa tartibda aniqlanar edi, ta'biiy-ki nuqtalarni nol radiusli aylanalar deb qarash mumkin; power esa aynan masofa tushunchasi bilan ustma-ust tushadi). 

Umuman olganda, $\mathrm{Pow}_{\omega_1} (M) - k\,\cdot \mathrm{Pow}_{\omega_2} (M)= \lambda$ shartni qanoatlantiruvchi nuqtalar to'plami, agar mavjud bo'lsa, aylana yoki t/ch ni hosil qiladi, va bu ham $k\neq 1$ yoki $k=1$ ligiga bog'liq (tekshirish qiyin emas!). Agar $\lambda = 0$ bo'lsa, yuqoridagi tenglikni qanoatlantiruvchi aniq ikkita nuqta bor, $\omega_1$ va $\omega_2$ larning kesishish nuqtalari; va $k$ ga mos ravishda uchinchi nuqtaning topilishi yetarlidir. 

Ushbu coaxallikning locus tomondan qaralishini inobatga olib, bizning masalani \[ \frac{\mathrm{Pow}_{\omega_B} (A)}{\mathrm{Pow}_{\omega_C} (A)} =  \frac{\mathrm{Pow}_{\omega_B} (X)}{\mathrm{Pow}_{\omega_C} (X)} \] tenglikni isbotlashga olib kelish mumkin (bu yerda, uchinchi nuqta vazifasini $P$ bajaradi).

1-chizma   

Aytaylik, $AB\cap \omega_B = B_1$ va $AC\cap \omega_C = C_1$ (1-chizma ga qarang). U holda \[ \frac{\mathrm{Pow}_{\omega_B} (X)}{\mathrm{Pow}_{\omega_C} (X)} = \frac{XP\cdot XY}{XP\cdot XZ} = \frac{XY}{XZ} = \frac{YC\cdot AB}{AC\cdot BZ} \] bo'ladi, bu yerda biz oxirgi tenglikda Menelay teoremasidan foydalandik. Demak, \[ \frac{\mathrm{Pow}_{\omega_B} (A)}{\mathrm{Pow}_{\omega_C} (A)} = \frac{YC\cdot AB}{AC\cdot BZ} \] ni, yoki boshqacha qilib aytganda, \[ \frac{AB_1}{AC_1} = \frac{YC}{ZB} \quad \Rightarrow \quad AB_1\cdot ZB = AC_1\cdot YC \] ni isbotlash yetarli. 

Boshqa tomondan,  \[ AB_1\cdot ZB = AZ\cdot ZB + ZB_1\cdot ZB = AZ\cdot ZB+ZP\cdot ZY \] \[ = R^2 - OZ^2 +ZP\cdot YP+ZP^2 = R^2 - OP^2 + ZP\cdot YP \] va shunga o'xshash \[ AC_1\cdot YC = AY\cdot YC + YC_1\cdot YC = AY\cdot YC + YP\cdot YZ \] \[ = R^2-OY^2+YP\cdot ZP + YP^2 = R^2 - OP^2 + YP\cdot ZP \] keladi. Bundan ko'rinadi-ki, $AB_1\cdot ZB = AC_1\cdot YC$ bo'ladi.   ▢  

 

2-yechim. (proyektiv yondashuv) Ushbu yechim orqali yana bir bor DIT ning kuchini ko'rishimiz mumkin.

2-chizma

Dualitydan foydalanaylik: $(X,\ell_X)$, $(Y,\ell_Y)$, $(Z,\ell_Z)$ lar orqali $(ABC)$ aylanaga nisbatan pole & polar mosliklarini belgilaylik. Albatta, $\ell_X$, $\ell_Y$ va $\ell_Z$ lar bitta nuqtada kesishadi va bu nuqta $\ell$ uchun pole bo'ladi. 

Aytaylik, $\ell_X$, $\ell_Y$, $\ell_Z$ lar $\ell$ ni mos ravishda $X'$, $Y'$, $Z'$ nuqtalarda kesib o'tsin. Bilamiz-ki, polar akslantirish ham homografiya bo'ladi, va o'z navbatida duality dan involutsiya hamdir (buni ikkita nuqtaga DDIT dan ham keltirish mumkin, yoki oddiy harmonik nuqtalar xossasi deb ham qarash mumkin). Demak, $\ell$ t/ch da $(X,X')$, $(Y,Y')$, $(Z,Z')$ va $(W,W)$, $(W',W')$ larni bir-biriga o'tkazadigan involutsiya mavjud. 

Bir tomondan, uchta $(XO)$, $(APX)$ va $(ABC)$ aylanalar uchun radikal o'qlarini bir nuqtada kesishishini inobatga olsak, $\ell_X$ va $\ell$ lar $X'$ nuqtada kesishishidan, $AX'$ ning $(APX)$ va $(ABC)$ aylanalar uchun umumiy radikal o'q bo'lishi keladi. $AX'$ ning $(ABC)$ ni ikkinchi bor kesish nuqtasini $A'$ deb olaylik. Xuddi shunday, $B'$ av $C'$ nuqtalarni ham aniqlashimiz mumkin (2-chizma ni qarang). Endi, $AA'$, $BB'$ va $CC'$ larning bitta $T$ nuqtada kesishishini ko'rsatish yetarli. Chunki, \[ TA\cdot TA' = TB\cdot TB' = TC\cdot TC' \] dan \[ \mathrm{Pow}_{\omega_A}(T) = \mathrm{Pow}_{\omega_B}(T)=\mathrm{Pow}_{\omega_C}(T)=\mathrm{Pow}_{(ABC)} (T) \] kelib chiqadi, va $P$ dan tashqari powerlari teng bo'lgan boshqa bir $T$ nuqta ham mavjudligidan $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$ aylanalarning umumiy radikal o'qga egaligi, ya'ni coaxalligi aytish mumkin.

Boshqa tomondan, haqiqatdan $AA'$, $BB'$, $CC'$ larning bitta nuqtada kesishishi DIT dan ayon. Agar $AA'\cap BB' = T(.)$ va $CT\cap \ell = Z''$ desak, $A,B,C,T$ to'rtta nuqta va $\ell$ t/ch uchun DIT dan $(X,X')$, $(Y,Y')$, $(Z,Z'')$ juftliklarni saqlaydigan involutsiya bor va albatta involutsiya ikkita juftlik bilan yagona ravishda aniqlanishidan, $Z''\equiv Z'$ kelib chiqadi.   ▢