DIT (Desargues Involution Theorem) va DDIT (Dual Desargues Involution Theorem) larning to'g'ridan-to'g'ri tadbiqi sifatida quyidagi misolni qaraylik:
▻ Aytaylik, $ABCD$ qavariq to'rtburchakda $AB$ va $CD$ qarama-qarshi tomonlari $E$ nuqtada, $AD$ va $BC$ qarama-qarshi tomonlari esa $F$ nuqtada kesishadi. Faraz qilaylik, $X$ nuqta tekislikda olingan ixtiyoriy nuqta bo'lib, $XE$, $XB$ va $XC$ t\ch lar $AD$ t\ch ni mos ravishda $P$, $Q$ va $R$ nuqtalarda kesib o'tadi. U holda $(XPF)$, $(XQD)$ va $(XRA)$ aylanalar coaxal bo'lishini isbotlang.
Ko'rinishidan masala oson emas. Lekin DDIT orqali masalani trivial holatga olib kelish mumkin.
Yechim. $ABCD$ (mukammal) qavariq to'rtburchak olingan ekan, DDIT dan ixtiyoriy $X$ nuqta uchun (albatta to'rtburchak tomonlari yotgan to'g'ri chiziqlarda yotmaydigan) bizda $(XE,XF)$, $(XB,XD)$ va $(XA,XC)$ juftliklarni saqlaydigan (bir-biriga akslantiradigan) involutsiya mavjud. Aniqroq qilib aytadigan bo'lsak, $\mathcal{P}(X)$ pencil da shunday involutsiya mavjud va yagona-ki, \[ XE \mapsto XF \mapsto XE, \quad XB \mapsto XD \mapsto XB, \quad XA\mapsto XC\mapsto XA \] bo'ladi.
 |
| 1-chizma |
Endi, pencil akslantirish yordamida $\mathcal{P}(X)$ ni $AD$ t/ch bilan kesadigan bo'lsak, bizda $AD$ t/ch da aniqlangan "induced" involutsiya hosil bo'ladi: $(P,F)$, $(Q,D)$, $(A,R)$ juftliklarni saqlaydi, va bunday involutsiya yagonadir. Biz bilamiz-ki, t/ch dagi involutsiya - bu, inversiyadir. $AD$ t/ch da shunday $Y$ nuqta mavjud bo'lib, yuqoridagi juftliklarni saqlar ekan, ya'ni \[ YP\cdot YF = YQ\cdot YD = YA\cdot YR. \] Xullas, \[ \mathrm{Pow}_Y ((XPF)) = \mathrm{Pow}_Y ((XQD)) = \mathrm{Pow}_Y ((XRA)) \] va $Y$ nuqta uchta aylana uchun radikal marka vazifesini bajaradi. Lekin, $X$ nuqta uchun ham powerlar tengligi bor edi. Demek, $XY$ t/ch uchta aylananing umumi radikal o'qi bo'lishi lozim. Ya'ni, ushbu aylanalar coaxal bo'lishi kerak. ▢
---------------------------------------------------------------------------------
Ko'rib turganingizdek, DDIT yordamida ancha murakkab masalalarni ham trivial holatdek yechib qo'yish mumkin.