UZBTST 2023 (3-bosqich, 4-kun) dan quyidagi masalani qaraylik:
▻ $ABC$ uchburchakda $\omega \, -$uning tashqi aylanasi, $O \,-$tashqi aylana markazi, $H$ esa ortomarkazi bo`lsin. Aytaylik, $K$ nuqta $AH$ kesmaning o`rtasi bo`lib, $OK$ ga $K$ nuqtadan o`tkazilgan perpendikulyar to`g`ri chiziq $AB$ va $AC$ tomonlarni mos ravishda $P$ va $Q$ nuqtalarda kesib o`tadi. $BK$ va $CK$ to`g`ri chiziqlar $\omega$ aylana bilan ikkinchi marta mos ravishda $X$ va $Y$ nuqtalarda uchrashadi. U holda $KPY$ va $KQX$ uchburchaklarga tashqi chizilgan aylanalarning ikkinchi bor kesishish nuqtasi $\omega$ aylanada yotishini isbotlang.
Ushbu masalaning original manbaasi - Balkan MO Shortlist 2022 bo'lib, masala shortlistdagi "failed" masalalardan biridir. Ba'zida shunaqa holatlar ham uchrab turadi: masalaning original yechimi chiroyli va ancha uzun, malum qiyinchiliklarga ega, lekin boshqalar tomonidan juda sodda yechib qo'yiladi va masaladagi juda ko'plab assumptionlar kerak emas bo'lib chiqadi. (odatda, masalada noto'g'ri narsa so'ralsa shunaqa holat yuzaga keladi, to'g'ri tasdiqni so'rash orqali masalani oldingi qiyinligini saqlab qolish mumkin)
-------------------------------------------------------------------
Yechim. Garchi foydalanmasakda, $K$ nuqtani $AH$ ning o`rtasi deb qarayveramiz. $K$ nuqtadan biror $\ell$ to`g`ri chiziq o`tkazilgan ($OK$ ga perpendikulyar bo`lishi shart emas) va ushbu to`g`ri chiziq $AB$, $AC$ tomonlarni mos ravishda $P$, $Q$ nuqtalarda kesib o`tsin. Masala shartida berilgandek, $X$ va $Y$ nuqtalarni ham aniqlaymiz. .png) |
| 1-chizma |
Aytaylik, $(APQ)$ va $\omega$ aylanalar ikkinchi bor $R$ nuqtada kesishadi. U holda \[ \angle RPK = \angle RPQ = 180^{\circ} - \angle RAQ = 180^{\circ} - \angle RAC = 180^{\circ} - \angle RYC = 180^{\circ} - \angle RYK \] va $PKYR$ to`rtburchakning siklik ekanligi keladi. Xuddi shunday, $QKRX$ to`rtburchakning ham siklikligini ko`rsatishimiz mumkin. Ko`rib turibmiz-ki, $(KPY)$ va $(KQX)$ aylanalar ikkinchi bor $R$ nuqtada, ya'ni $\omega$ aylana ustida kesishadi.
.png)