UZBTST 2023 (2-bosqich, 1-kun) dan quyidagi masalani qaraylik:
▻ Aytaylik, $ABC$ o'tkir burchakli uchburchakning $B$ uchidan uning tashqi aylanasiga $\ell$ urinma o'tkazilgan. Uchburchakning balandliklar kesishish nuqtasidan $\ell$ to'g'ri chiziqqa tushurilgan perpendikular asosi $K$ nuqta bo'lsin. Agar $L$ nuqta orqali $AC$ tomon o'rtasi olingan bo'lsa, u holda $BLK$ uchburchakning teng yonli ekanligini isbotlang.
-------------------------------------------------------------------
Yechim. Qulay chizma chizish orqali aynan qaysi kesmalarning tengligini ko'rsatish kerakligini bilib olishimiz mumkin. Biz $BL=LK$ ekanligini isbotlaymiz.
 |
| 1-chizma |
Uchburchakning $AA_1$ va $CC_1$ balandliklari o'tkazilgan bo'lsin. $H$ nuqta esa uchburchak ortomarkazi, $O'$ nuqta orqali $BH$ kesma o'rtasi belgilangan. U holda $A_1C_1 \parallel \ell$ ekanligi aniq, chunki $\angle BC_1A_1 = \angle BCA = \angle KBA$.
Bilamiz-ki, $BC_1HA_1$ to'rtburchakning tashqi aylana markazi $O'$ nuqta bo'ladi, shunindek, $AC_1A_1C$ to'rtburchakka ham $L$ markazli tashqi aylana chizish mumkin. Demak, $A_1C_1$ to'g'ri chiziq ushbu aylanalarning umumiy radikal o'qi va $O'L\perp A_1C_1$ ekan. $A_1C_1 \parallel \ell$ dan esa $O'L\perp \ell$ keladi.
Boshqa tomondan, $\angle BKH=90^{\circ}$ va $K$ nuqta ham $BH$ diametrli aylanada, ya'ni $O'$ markazli aylanada yotadi. Bundan, $O'K=O'B$ va $O'$ dan $\ell$ ga tushirilgan perpendikulyar aynan $BK$ ning o'rtasiga tushar ekan. Demak, $LO'$ to'g'ri chiziq $BK$ ning o'rta perpendikulyari va $LB=LK$ bo'ladi.