Ellips deganda nimani tushunasiz?
Agar ikkinchi tartibli chiziq va uning umumiy tenglamasi, invariantlar haqida fikr yuritib boshlasangiz, demak siz analitik fikrlayapsiz. Bunda sizga ellipsning kanonik ko'rinishi (ikkinchi tartibli chiziqlarning $9$ xil holati va hokazo) \[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \] deb tushuntiriladi va grafigini quyidagicha chizasiz:
 |
| 1-chizma |
"tekislikda berilgan nuqtadan bir xil masofada joylashgan nuqtalar to'plami"
Bu lokus (nuqtalarning geometrik o'rni) sifatida aniqlash deyiladi. Bunda sizga koordinata kiritishdan ko'ra, undagi aniqlanadigan boshlang'ich qiymatlar muhim; masalan radius va aylana markazi ---- keyingi xossalar aynan shularga bog'liq.
Xo'sh, ellipsda ham shunday ta'rif keltirolmaymizmi? Odatda, darsliklar ellipsga quyidagicha ta'rif keltiradi:
"tekislikda berilgan ikkita nuqtagacha bo'lgan masofalari yig'indisi o'zgarmas bo'lgan nuqtalar to'plami"
Bu yerda, ikkita nuqta - bu, tekislikda oldindan berilgan nuqtalar, ellipsning fokuslaridir. O'zgarmas masofa esa odatda $2a$ deb olinadi, va ushbu $a$ aynan kanonik tenglamasidagi $a$ parametr bilan bir xildir.
Odatda, sizdan olimpiada masalalarida (umuman olganda, ellipsga doir har qanday masalada) ellipsning aynan ushbu ta'rifini olish nazarda tutiladi va qolgan barchasini keltirib chiqarishingiz lozim deb qaraladi. Xuddi aylana deganda, $O$ markaz va undan $R$ radius masofada joylashgan nuqtalar to'plami degandek, ellips deganda $F_1$, $F_2$ fokuslar va ulargacha bo'lgan masofalar yig'indisi $2a$ (ba'zida, $a$ ga ellipsning katta radiusi deyiladi) ga teng bo'lgan nuqtalar to'plamini nazarda tutishimiz darkor.
Ushbu ta'rif o'zida ellipsning ko'plab xossalarini saqlaydi. Masalan, ellipsda olingan nuqtadan fokuslarigacha bo'lgan masofalar yig'indisi o'zgarmas degan xossamiz bor edi (buni, ellipsni analitik tenglamasi orqali aniqlab, keyinchalik isbotlab ko'rsatgan bo'lishingiz kerak). Aslida ushbu xossa ellips uchun ta'rif vazifasini bajarar ekan.
Demak, biz uchun ellips - bu:
Ta'rif: Tekislikda $A$ va $B$ fokuslarga, $a$ katta radiusga ega bo'lgan ellips deb $XA+XB=2a$ bo'ladigan $X$ nuqtalar to'plamiga aytiladi.
 |
| 2-chizma |
Agar tekislikda (quay ravishda) Dekart koordinatalar sistemasini kiritib, $A=(-c,0)$ va $B=(c,0)$ deb qaraydigan bo'lsak, $X=(x,y)$ nuqtaning geometrik o'rni \[ \sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a \quad (*) \] tenglamadan izlanishi lozim. Aslida ushbu tenglamaga ellipsning analitik tenglamasi deymiz. Endi, tenglamani soddalashtiradigan bo'lsak, \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-c^2} = 1 \] kelib chiqadi, ya'ni $b^2 := a^2-c^2$ deb olish orqali kanonik tenglamaga kelamiz. Va endi, ellipsning kanonik tenglamasi ta'rifini berishimiz, analitik qadamlarni davom ettirishimiz mumkin.
Bu yerda, ma'lum bir holatlar bor. Masalan, $(*)$ tenglamani qanoatlantiradiagn $(x,y)$ nuqtalar mavjud bo'lmasachi? Balki, bitta nuqtadir? Cheksiz ko'p emasmi?
Ushbu savollarning barchasi $A$, $B$ fokuslarga va $a$ radiusga ma'lum bir shartlar tashlaydi:
- $A\equiv B$ bo'lsa, u holda $A$ markazli va $a$ radiusli aylana hosil bo'lib qoladi. Demak, aylana - bu, ellipsning xususiy holi, shu jumladan $a=0$ holda hosil bo'ladigan nuqta ham... nuqtani nol radiusli aylana deganimizdek, ellips deb qarashimiz ham mumkin;
- $A$ va $B$ nuqtalar ustma-ust tushmasin. U holda uchburchak tengsizligidan $2a \ge AB$ bo'lishi lozim. Demak, $2a<AB$ da yechim yo'q deb ayta olamiz, yani ellips hosil bo'lmaydi;
- Yuqoridagi holda $2a = AB$ bo'lib qolsa, $X$ nuqtaning geometrik o'rni $AB$ kesma chiqishi aniq (uchburchak tengsizligining tenglik holi). Demak, har qanday kesma ham aslida ellips ekan;
- Va, oxirgi $2a>AB$ umumiy holimizda, biz bilgin elips kelib chiqadi. Boshqacha aytganda $(*)$ tenglamaning qanoatlantiruvchi $(x,y)$ nuqtalar qandaydir chiziq chizadi va bu chiziqqa ellips deb nom beramiz;
"tekislikda berilgan nuqtadan ma'lum bir masofadan oshmaydigan uzoqlikda joylashgan nuqtalar to'plami"
Aylana - bu, chegara vazifesini o'taydi. $O$ markazli, $R$ radiusli aylana va tekislikdagi ixtiyoriy $X$ nuqtani olsak, $XO$ ning $R$ ga teng, yoki undan katta, yoki kichik ekanligiga qarab tekislikning aylanaga nisbatan qaysi sohasida yotishini bilamiz.
Ellipsda ham aslida shunday, $A$ va $B$ fokuslar oldindan berilgan nuqtalar va $a$ uning katta radiusi bo'lsa, tekislikdagi ixtiyory $X$ nuqta uchun bizda quyidagilar bor:
- $XA+XB = 2a$, demak $X$ nuqta ellipsda yotadi;
- $XA+XB>2a$, demak $X$ nuqta ellipsdan tashqarida yotadi;
- $XA+XB<2a$, demak $X$ nuqta ellipsning ichki sohasida yotadi.
Geometrik modellashtirsak, quyidagi chizma kelib chiqadi:
 |
| 3-chizma |
Demak, $\ell$ to'g'ri chiziqda $X$ nuqta harakatlanmoqda, $AX+BX$ minimal bo'ladiganini topishimiz lozim. Minimal bo'ladigan $X$ quyidagi chizma bo'yicha aniqlanadi ($A'$ orqali $A$ ning $\ell$ ga nisbatan simmetrik nuqtasi olingan):
 |
| 4-chizma |
Yechim uchburchak tengsizligida yotibdi, yuqoridagi chizmadan xulosa chiqarishni mustaqil qoldiramiz. Umuman olganda, yig'indi minimal bo'ladigan $X$ nuqta tog'ri chiziqda yagona va yuqoridagi chizma orqali aniqlanadi.
Ellipsning optik xossasining ham aslida ushbu masaladan farqi yo'q.
Ellips optik xossasi. Har qanday ellipsda, uning biror nuqtasidan o'tkazilgan urinmasi, ushbu nuqtani fokuslar bilan tutashtiradigan to'g'ri chiziqlar orqali bir xil burchaklarga ajratiladi. Ya'ni, $A$ va $B$ fokuslarga ega ellipsning biror $X$ nuqtasidan $\ell$ urinma o'tkazsak, $AXB$ uchburchak uchun $\ell$ to'g'ri chiziq tashqi bissektrisa vazifasini o'taydi.
Isboti: Quyidagi xossani isbotlashimiz talab etilmoqda:
 |
| 5-chizma |
Ushbu xossa, ellipsning xususiy holi bo'lmish aylanada bajariladi: ikkita fokus ham aylana markaziga tushadi va $X$ nuqtadan o'tkazilgan urinma $OX$ ga perpendikular bo'ladi (burchaklar teng!).
Umumiy holga o'tadigan bo'lsak, yuqorida keltirgan mulohazani eslaymiz: biror $X$ nuqtaning ellipsdan tashqarida yotishi $XA+XB>2a$ ga ekvivalentdir, yoki ellips ustida yotishi $XA+BX=2a$ ga... Berilgan $\ell$ urinmamizda aniq bitta $X$ nuqtaning o'zigina ellipsga tegishli bo'ladi. Demak, qolgan barcha $Y\in \ell$ nuqtalar uchun $YA+YB>2a$ ekan, biroll $XA+XB=2a$. Boshqacha aytadigan bo'lsak, Geron masalasidagi qishloqlar aynan $A$ va $B$ nuqtalar, daryo esa $\ell$ urinma bo'lib, $X$ nuqta $XA+XB$ minimal bo'ladigan urinmadagi nuqtadir. Geron masalasidan bilamiz-ki, $X$ nuqta quyidagi aniqlanishi lozim:
 |
| 6-chizma |
Bunda, $B'$ orqali $B$ nuqtani urinmaga nisbatan simmetrik ko'chirdik. Ta'biiyki, $AX$ to'g'ri chiziq $B'$ nuqtadan o'tishi kerak. $BXB'$ teng yonli uchburchakda $\ell$ urinma balandlik vazifasini bajaradi va biz xohlagan optik xossaning isboti ko'rinib turibdi. ▢
----------------------------------------------
Ellipsda masalalar qurmoqchimisiz? Yuqoridagi konfiguratsiyadan foydalanib, "tonnalab" turli xil qiyinchilikdagi masalalarni yasashingiz mumkin, bunda qanchalik maktab geometriyasi va ayniqsa maktab geometriyasi bo'yicha olimpiada masalalarini bilishingiz katta rol o'ynaydi.
Misol sifatida Matematika Instituti tomonidan tashkil etilayotgan universitet talabalari uchun mashg'ulot olimpiadalaridan (https://t.me/matinstcomp) quyidagi masalani keltiramiz.
Aytaylik, fokuslari $A$ va $B$ nuqtalarda bo'lgan $\varepsilon$ - ellips va unda yotmadigan $P$ nuqta berilgan bo'lsin. $P$ nuqtadan ellipsga $PX$ va $PY$ urinmalar o'tkazildi, bunda $X$ va $Y$ nuqtalar ellipsda yotadi. U holda $\angle APX = \angle BPY$ ekanligini isbotlang.
 |
| 7-chizma |