IMO2009 da Hojoo Lee (va boshqalar) tomonidan quyidagi geometrik masala taklif etilgan edi:
▻ $AB=AC$ bo'lgan $ABC$ teng yonli uchburchak berilgan. $\angle CAB$ va $\angle ABC$ burchaklarning bissektrisalari mos ravishda $BC$ va $CA$ tomonlarni $D$ va $E$ nuqtalarda kesadi. Aytaylik, $K$ nuqta orqali $ADC$ uchburchakning ichki aylana markazi olingan. Faraz qilaylik, $\angle BEK = 45^{\circ}$ bo'lsin. $\angle CAB$ ning barcha qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlarini aniqlang.
Ushbu masala orqali Cheva teoremasining trigonometrik ko'rinishini IMO darajasidagi masalalarda ham qo'llash mumkinligini ko'rsatmoqchimiz. Ya'ni, faqat bitta shu teoremani bilish orqali ham masalani yechish mumkin. Aslida analitik metodlarda, ayniqsa trigonometrik analitik metodlarni qo'llashda Cheva trig. teoremasi hali ham o'z dolzarbligini yo'qotmagan; birgina IMO2023 ning P2 masalasiga berilgan 3-yechim orqali ko'rishingiz ham mumkin.
Yechim. Aytaylik, $BE$ va $AD$ lar $I$ nuqtada kesishadi. U holda $CI$ ning $\angle ACB$ ning bissektrisasi bo'lishi va $K$ nuqtadan o'tishi aniq. Bizda $\angle IEK = \angle IDK=\angle CDK = 45^{\circ}$ ekanligi bor (1-chizma ga qarang).
1-chizma
$\angle ABC=\angle ACB = \alpha$ deb olaylik. U holda $\angle KIE = \alpha$, $\angle KID = 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$ va $\angle KEC = 135^{\circ} - \frac{3\alpha}{2}$ bo'ladi. U holda $IECD$ to'rtburchak uchun Cheva trig. ko'rinishini qo'llasak (eslatib o'tamiz, to'rtburchaklar uchun faqat bir tomonlama ishlaydi, ya'ni bir nuqtada kesishadigan chevianalar uchun sinuslar nisbatlari ko'paytmasi $1$ ga teng), \[ \frac{\sin \angle KID}{\sin \angle KIE}\cdot \frac{\sin \angle KEI}{\sin \angle KEC} \cdot \frac{\sin \angle KCE}{\sin \angle KCD} \cdot \frac{\sin \angle KDC}{\sin \angle KDI} = 1 \] kelib chiqadi, ya'ni \[ \frac{\sin (90^{\circ}-\frac{\alpha}{2})}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin (135^{\circ} - \frac{3\alpha}{2})} = 1 \] ekan. Soddalashtiradigan bo'lsak, \[ \cos (45^{\circ} - \frac{\alpha}{2}) - \cos (135^{\circ} - \frac{\alpha}{2}) = \cos (135^{\circ} - \frac{5\alpha}{2}) - \cos (135^{\circ} - \frac{\alpha}{2}) \] ni keltiramiz. Demak, $\cos (45^{\circ}- \frac{\alpha}{2}) = \cos (135^{\circ} - \frac{5\alpha}{2})$ bo'lar ekan. Bu esa faqat va faqat $\alpha =45^{\circ}$ yoki $\alpha = 60^{\circ}$ bo'lgandagina bajariladi.
Tekshirish:
- $\alpha = 45^{\circ}$ bo'lsa, $\angle A=90^{\circ}$ va $ABC$ uchburchak to'g'ri burchakli teng yonli uchburchakka aylanadi. Bundan $\frac{CK}{CD} = \frac{CE}{CI}$ ekanligini ko'rsatish va $\triangle CKE \sim \triangle CDI$ ga olib kelish mumkin. Demak, $\angle IKE = 90^{\circ}$ ekan, va $\angle KIE = 45^{\circ}$ ga ko'ra $\angle KEI = 45^{\circ}$ ham kelib chiqadi. Ya'ni, $\angle BEK = 45^{\circ}$.
- $\alpha = 60^{\circ}$ bo'lsa, $\angle A=60^{\circ}$ va berilgan uchburchak muntazam bo'ladi. Bundan $K$ nuqta $AEI$ uchburchak uchun tashqi-ichki aylana markazi va $\angle BEK=45^{\circ}$ ekanligi aniq.