IMO2016/P1

IMO2016/P1:

▻ Aytaylik, $B$ burchagi to'g'ri bo'lgan $BCF$ to'g'ri burchakli uchburchak berilgan. Tekislikda quyidagi yangi nuqtalarni belgilab olamiz: $CF$ to'g'ri chiziqning $F$ nuqtadan davomida $FA=FB$ bo'ladigan qilib $A$ nuqta; $\angle DAB$ burchak bissektrisasi $AC$ to'g'ri chiziqqa to'g'ri keladigan va  $DA=DC$ bo'ladigan $D$ nuqta; $\angle EAC$ burchak bissektrisasi aynan $AD$ to'g'ri chiziq bo'ladigan va $EA=ED$ shartni qanoatlantiradigan $E$ nuqta tanlangan. Aytaylik, $CF$ kesmaning o'rtasi $M$ nuqta bo'lsin va $AMXE$ parallelogram bo'ladigan qilib $X$ olingan. U holda $BD$, $FX$ va $ME$ to'g'ri chiziqlar bitta nuqtada kesishishini isbotlang.

Yechim.  Dastlab-ki $A$ nuqtaning aniqlanishidan, $BCF$ uchburchakni $F$ nuqta atrofida simmetrik ko'chirish amalga oshirilmoqda deyishimiz mumkin. Aniqrog'i, uchburchak $\angle F$ burchagi tashqi bissektrisasiga nisbatan uchburchak o'zini simmetrik ko'chiramiz (1-chizma ga qarang). 

1-chizma

Xullas, uchburchak $\angle F$ burchagi tashqi bissektrisasini $\ell$ to'g'ri chiziq bilan belgilab, barcha nuqtalarni shu to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik ko'chirib chiqamiz: $B\mapsto A$, $C\mapsto G$, $F\mapsto F$.  U holda $C$, $B$, $A$, $G$ nuqtalar $CG$ diametrli aylanada yotadi. Qolaversa, $CG\parallel AB$ ekanligidan $\angle GCA = \angle BAC$ va aylana markazi aynan $D$ nuqtaga to'g'ri keladi. 

2-chizma

Bundan tashqari, $E$ nuqta $FG$ ning o'rtasiga to'g'ri keladi. Chunki, $FG$ diametrli aylana $F,D,G,A$ nuqtalardan o'tadi va $E$ nuqtani ushbu aylana markazi deb aniqlasak, $EA=ED$ va $ED\parallel AF$ bo'ladi. Bu degani, $\angle EAD = \angle EDA = \angle FAD$ va biz qidirayotgan $E$ nuqta aynan ushbu aylana markazi bo'ladi.  Xususan, $E$ va $M$ nuqtalar $\ell$ ga nisbatan simmetrik ham bo'ladi. $X$ nuqta esa $ED$ ning davomida yotadi va $MX = AE=MB$, ya'ni $X$ nuqta $BFC$ ning tashqi aylanasiga tegishlidir. Yana \[ EX = AM = AF+FM =BF+FE = EB \] dan $BEX$ teng yonli uchburchak va $EM\perp BX$ ekanligini topamiz. Demak, $BX\parallel DF$ va $BFDX$ teng yonli trapetsiya bo'lar ekan. U holda ushbu trapetsiya diagonallari kesishish nutqasi bo'lmish $FX\cap BD$ nuqtaning, aynan o'xshash uchburchaklar bo'lmish $EDF$ va $EXB$ larning medianasida yotishidan $EM$ ning ham ushbu nuqtadan o'tishi keladi. Bizga kerakli tasdiq isbotlandi, $BD$, $FX$, $EM$ lar konkurrent ekan.   ▢

--------------------------------------------

Masalaga oddiy koordinatalar tekisligi aniqlash orqali yoki kompleks tekislikni kiritish orqali analitik yebchimlar berish ham mumkin. Bunda eng asosiysi $D$ va $E$ nuqtalarning koordinatalarini aniqlashdir. Bundan tashqari, vektorlardan foydalanib ham yechim mumkin. $F$ nuqtani koordinata boshi deb $FC$ yo'nalishda $e_1$ birlik vektorni, $FB$ yo'nalishda $e_2$ birlik vektorni qarab, $D$ va $E$ nuqtalarni shu affin sistemaga nisbatan koordinatalari aniqlash lozim. Asosiysi, $DMF$ uchburchak tomonlari $BXE$ uchburchak tomonlariga parallel ekanligini ko'rsatish kerak bo'ladi.