IMO2018/P1:
▻ Aytaylik, $\Gamma$ orqali $ABC$ o'tkir burchakli uchburchakning tashqi aylanasi belgilangan. $D$ va $E$ nuqtalar mos ravishda $AB$ va $AC$ tomonlarda yotib, $AD=AE$ tenglikni qanoatlantirishadi. Aytaylik, $BD$ va $CE$ kesmalarning o'rta perpendikulyarlari mos ravishda $\Gamma$ ning $AB$ va $AC$ kichik yoylarini $F$ va $G$ nuqtalarda kesib o'tadi. U holda $DE$ va $FG$ lar o'zaro parallel yoki aslida bitta to'g'ri chiziq bo'lishini isbotlang.
Yechim. Aytaylik, $AB$ va $AC$ tomonlarning o'rtalari mos ravishda $M$ va $N$ nuqtalar bo'lsin. $BD$ va $CE$ kesmalarning o'rtalarini esa mos ravishda $B_1$ va $C_1$ deb olaylik. $O$ nuqta orqali $\Gamma$ tashqi aylana markazi belgilangan (1-chizma ga qarang). Bizdan talab qilingan tasdiq, $FG$ ning $\angle A$ ning ichki bissektrisasiga perpendikularligini ko'rsatishdan iborat. Chunki, $DE$ to'g'ri chiziq ham $\angle A$ ning ichki bissektrisasiga perpendikulyar bo'ladi.
 |
| 1-chizma |
Bilamiz-ki, $MB_1=NC_1$ bo'ladi. Aslida, bu bizga berilgan $AD=AE$ ga teng kuchlidir, ikkalasi ham aynan $\frac{AD}{2}=\frac{AE}{2}$ larga teng. Va, $OF=OG=R$ ekanligi ($R$ - tashqi aylana radiusi) esa $\angle FOM = \angle GON$ ni beradi. Buni 1-chizma dagidek $F'$ va $G'$ nuqtalarni aniqlash orqali $\triangle FF'O = \triangle GG'O$ teng uchburchaklarani yasash bilan izohlash mumkin. Demak, $\angle MON$ ning bissektrisasi $\angle FOG$ ning bissektrisasi bilan ustma-ust tushar ekan. Albatta, $FOG$ uchburchak teng yonli va $\angle FOG$ ning ichki bissektrisasi $FG$ ga perpendikulyar bo'ladi. Xullas, $\angle FOG$ ning, ya'ni $\angle MON$ ning bissektrisasi $\angle A$ ning bissektrisasiga parallel ekanligini ko'rsatish kifoya. Bu esa ravshan! ▢