IMO2019/P2 haqida mulohaza yuritamiz:
▻ Aytaylik, $ABC$ uchburchakning $BC$ tomonida $A_1$ nuqta, $AC$ tomonida $B_1$ nuqta tanlangan. $P$ va $Q$ nuqtalar esa mos ravishda $AA_1$ va $BB_1$ kesmalarda yotib, $PQ\parallel AB$ start bajariladi. Aytaylik, $PB_1$ va $QA_1$ chiziqlarda mos ravishda $\angle PP_1C = \angle BAC$ va $\angle CQ_1Q=\angle CBA$ shartlarni qanoatlantiruvchi $P_1$ va $Q_1$ nuqtalar olingan, bunda $B_1$ nuqta $PP_1$ kesmaning, $A_1$ nuqta esa $QQ_1$ kesmaning qat'iy ichki sohasida yotadi. U holda $P$, $Q$, $P_1$, $Q_1$ nuqtalar bitta aylanada yotishini isbotlang.
 |
| 1-chizma |
1-yechim. Nisbatan sintetik (biroq proyektiv elementlarga ega) bo'lgan official yechimlardan biri quyidagicha edi.
$\angle PP_1C = \angle BAC$ burchaklar tengligi aynan bizga $PP_1\cap AB = A'(.)$ nuqtani aniqlashga undaydi. Chunki, bu bilan $AA'CP_1$ siklik to'rtburchakni hosil qilamiz. Xuddi shunday, $QQ_1\cap AB = B'(.)$ nuqtani aniqlash orqali $BB'CQ_1$ siklik to'rtburchakni ham aniqlay olamiz (2-chizma ga qarang).
.png) |
| 2-chizma |
$A'B'\parallel PQ$ dan $PQQ_1P_1$ to'rtburchak siklik ekanligini isbotlash, $A'B'Q_1P_1$ to'rtburchakning siklik ekanligini isbotlashga teng kuchlidir. Va, biz ham aynan $A'B'Q_1P_1$ ning siklik ekanligini ko'rsatamiz. Buning uchun $PP_1\cap QQ_1 = T(.)$ nuqtaning $(AA'CP_1)$ va $(BB'CQ_1)$ aylanalar umumiy radikal o'qida yotishini ko'rsatish keltirish yetarlidir.
Agar $\overline{APA_1}$ va $\overline{BQB_1}$ to'g'ri chiziqlarga nisbatan Pappus teoremasini qo'llaydigan bo'lsak, bizda $C$, $AQ\cap BP=S(.)$ va $T$ nuqtalarning kollinear bo'lishi kelib chiqadi. U holda $PQ\parallel A'B'$ va o'xshashliklardan \[ \frac{MA'}{MB'} = \frac{NP}{NQ} = \frac{MB}{MA} \] nisbatlar tengligi kelib chiqadi. Bu degani $MA\cdot MA' = MB\cdot MB'$ va $M$ nuqta $(AA'CP_1)$ va $(BB'CQ_1)$ aylanalar umumiy radikal o'qida yotadi. Demak, $CM$ to'g'ri chiziq ushbu ikkita aylananing umumiy radikal o'qini hosil qilar ekan. Va, $CM$ ning $T$ nuqtadan o'tishidan bizga kerakli tasdiq ayon bo'ladi.
2-yechim. Yana bitta sintetik yechimlar qatoriga quyidagi yechimni ham qo'shish mumkin.
Aytaylik, $PP_1\cap BC = X(.)$ va $QQ_1\cap AC = Y(.)$ nuqtalar aniqlangan. U holda $XY\parallel AB$ ekanligini ko'rsatish kifoyadir (mustaqil ko'rsatishga harakat qiling! yuqoridagi yechimdan ilhomlansangiz bo'ladi!). Agar ushbu tasdiqni ko'rsata olsangiz, \[ \angle CXY = \angle CBA = \angle CQ_1A_1 \] va \[ \angle CYX = \angle CAB = \angle CP_1B_1 \] tengliklardan $P_1$, $Q_1$ nuqtalarning $CXY$ uchburchak tashqi aylanasida yotishi kelib chiqadi. Ya'ni, $XYQ_1P_1$ to'rtburchak siklik ekan. U holda $XY\parallel PQ$ dan $PQQ_1P_1$ ning ham siklik ekanligini keladi va isbot tugaydi. ▢
"Heavy machinery" dan foydalangan holda masalaning yuqoridagi isbotlaridan o'zgacha bo'lgan bir nechta yechimlarini keltirish mumkish:
- koordinatalar tekisligi aniqlash orqali keltiriladigan analitik isboti (yoki kompleks sonlardan foydalanish mumkin);
- point moving dan foydalanish mumkin, xususan asosiy masala $T$ nuqtaning berilgan aylanalar umumiy radikalida yotishini ko'rsatishdan iboratdir;