IMO2020 da quyidagi geo (P1) ko'rinish bergan edi:
▻ $ABCD$ qavariq to'rtburchak berilgan. Aytaylik, $P$ nuqta $ABCD$ ning ichki sohasida olingan bo'lib, quyidagi shartni qanoatlantiradi: \[ \angle PAD : \angle PBA : \angle DPA = 1:2:3=\angle CBP : \angle BAP : \angle BPC. \] U holda $\angle ADP$ va $\angle BCP$ burchaklarning ichki bissektrisalari $AB$ kesmaning o'rta perpendikulyarida kesishishini isbotlang.
Ushbu masala IMO tarixidagi eng oson masalalar turkumidandir. Masalani yecha olmaslikning deyarli imkoni yo'q!
Yechim. Yechim ko'paytirib o'tirmasdan aslida masala qanday qurilganini ko'rib chiqamiz va yechim ham shundan ayon bo'ladi.
 |
| 1-chizma |
Biz $APB$ uchburchak berilgan deb qaraymiz, bunda $\angle PAB = 2\alpha$ va $\angle PBA = 2\beta$. Aslida shularning o'zi, $C$ va $D$ nuqtalarni bir qiymatli aniqlash uchun yetarli. Xususan, $C$ nuqtani aniqlashda $\angle BPC=3\alpha$ va $\angle CBP = \alpha$ ekanligini inobatga olish kifoyadir. Albatta, $\alpha$ oldindan berilgan burchak va $BP$ bilan $\alpha$ burchak hosil qiluvchi to'g'ri chiziqni chiqaramiz (1-chizma ga qarang). Ushbu chiziq $C$ nuqtadan o'tishi aniq, faqat $C$ nuqtani aniqlash uchun qo'shimcha ravishda $P$ nuqtadan $PB$ bilan $3\alpha$ burchak hosil qiluvchi to'g'ri chiziq chiqarish lozim.
Endi, yechimga o'tadiga bo'lsak, ishni $APB$ uchburchakka tashqi aylana chizishdan boshlaymiz, zero $AD$ va $BC$ lar mos ravishda $AP$ va $BP$ kichik yoylarning o'rtalaridan o'tadi; ushbu nuqtalarni mos ravishda $B_1$ va $A_1$ deb olaylik, uchburchak tashqi aylana markazi esa $O$ nuqta bo'lsin. U holda $\angle PA_1C = \angle CPA_1 = 2\alpha$ va $PCA_1$ teng yonli uchburchak hosil bo'ladi, ya'ni $\angle BCP$ burchak bissektrisasi $PA_1$ ning o'rta perpendikulyari ekan. Albatta, aylana vatarining o'rta perpendikulyari uning markazidan o'tadi. Demak, $\angle BCP$ ning bissektrisasi $O$ nuqtadan o'tar ekan. Xuddi shunda o'xshash ravishda $\angle ADP$ ning bissektrisasining ham $O$ nuqtadan o'tishini keltira olamiz. Shubhasiz, $O$ nuqta $AB$ ning o'rta perpendikulyarida yotadi. Bizga kerakli tasdiq isbotlandi. ▢