IMO2021 dan quyidagi ajoyib P4 masalani ko'ramiz:
▻ $I$ markazli $\Gamma$ aylana va $ABCD$ qavariq to'rtburchak berilgan, bunda $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ kesmalar $\Gamma$ ga urinadi. Aytaylik, $\Omega$ orqali $AIC$ uchburchakning tashqi aylanasi belgilangan va $BA$ ni $A$ nuqtadan davom ettirsak $\Omega$ ni $X$ nuqtada, $BC$ ni $C$ nuqtadan davom ettirsak $\Omega$ ni $Z$ nuqtada kesib o'tadi. Bundan tashqari, $AD$ va $CD$ larni $D$ nuqta orqali davom ettirsak $\Omega$ ni mos ravishda $Y$ va $T$ nuqtada kesib o'tadi. Isbotlang: \[ AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC. \]
Masala oldin ko'rgan IMO2020/P1 va IMO2022/P4 larga bitta jihati bilan o'xshaydi: masalani qay tomondan qurib olish juda muhim!
Yechim. Agar $AXY$ uchburchakni berilgan va unga $\Omega$ aylana tashqi chizilgan desak, ushbu uchburchak $\angle A$ burchagi tashqi bissektrisasi $AI$ va u tashqi aylanani $I$ nuqtada kesib o'tmoqda. Bundan $I$ nuqtaning $XAY$ yoy o'rtasi ekanligini topamiz. Xuddi shunday, $\Omega$ tashqi aylanaga ega $CTZ$ uchburchak uchun qarasak, $I$ nuqtaning $TCZ$ yoyi o'rtasi ekanligini topamiz. Demak, $I$ nuqta $XY$ va $TZ$ larning o'rta perpendikulyarlarida yotar ekan; ya'ni $XY\parallel TZ$ va $YZ=XT$. Bundan foydalansak, bizga kerakli tasdiqni keltirish uchun \[ AD+DT+XA = CD+DY+ZC \] ni ko'rsatishimiz yetarli ekanligini topamiz.
Aytaylik, $\Gamma$ aylana $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ tomonlarga mos ravishda $U$, $V$, $W$, $S$ nuqtalarda urinadi (1-chizma ga qarang). U holda \[ AD+DT+XA = DS+SA+DT+XA = DW+AU+DT+XA = TW+XU, \] ya'ni $AD+DT+XA = \sqrt{\mathrm{Pow}_{\Gamma}(T)} + \sqrt{\mathrm{Pow}_{\Gamma}(X)}$ bo'ladi; $X$ va $T$ nuqtalarning $\Gamma$ aylanaga nisbatan masofalari (power ma'nosida) yig'indisi ekan.
1-chizma
Xuddi shunday, $CD+DY+ZC = \sqrt{\mathrm{Pow}_{\Gamma}(Y)} + \sqrt{\mathrm{Pow}_{\Gamma}(Z)}$ ni ham keltira olamiz. Umuman olganda esa $I$ nuqta $XY$ va $ZT$ larning o'rta perpendikularida yotishidan, $IX=IY$ va $IT=IZ$, shuningdek $X$ va $Y$ nuqtalarning $\Gamma$ ga nisbatan powerlari, $Z$ va $T$ klaring $\Gamma$ aylanaga nisbatan powerlari tengdir. Ushbu xulosa, bizga kerakli tasdiqni beradi. ▢