IMO2022, P4 - qavariq beshburchak

sana:

IMO2022/P4 masalasini ko'ramiz:

▻ $BC=DE$ bo'ladigan $ABCDE$ qavariq beshburchak berilgan. Faraz qilaylik, ushbu beshburchak ichida $TB=TD$, $TC=TE$ va $\angle ABT=\angle TEA$ bo'ladigan $T$ nuqta mavjud. $AB$ to'g'ri chiziq $CD$ va $CT$ to'g'ri chiziqlarni mos ravishda $P$ va $Q$ nuqtalarda kesib o'tadi. Aytaylik, $P$, $B$, $A$, $Q$ nuqtalar ko'rsatilgan tartibda bitta to'g'ri chiziqda yotadi. $AE$ to'g'ri chiziq ham $CD$ va $DT$ to'g'ri chiziqlarni mos ravishda $R$ va $S$ nuqtalarda kesib o'tib, $R$, $E$, $A$, $S$ nuqtalar keltirilgan tartibda bitta to'g'ri chiziqda yotadi. U holda $P$, $S$, $Q$, $R$ nuqtalar bir aylanada yotishini isbotlang.

Yechim. Xuddi IMO2020/P1 ga o'xshab, masalani qay tomondan qurib olish yechimning mohiyatini hosil qiladi.

1-chizma

Umuman olganda $BCDE$ to'rtburchak berilgan va $BD$, $CE$ diagonallarining o'rta perpendikulyarlari $T$ nuqtada kesishadi deb olsak, qolgan barcha nuqtalarni $\angle TBA = \alpha$ o'zgarmas burchakga nisbatan aniqlash mumkin. Boshqa tomondan esa $T$ markazga ko'ra spiral o'xshash bo'lgan $TBC$ va $TDE$ uchburchaklar berilgan va $\alpha$ burchakka ko'ra $A$ nuqtani aniqlash orqali qolgan nuqtalarni ham aniqlaymiz deb qarasak ham bo'ladi. 

Bulardan $\angle BTD = \angle CTE$ va \[ \angle TBD=\angle TDB = \angle TCE = \angle TEC \] ni topamiz. Agar $BD\cap CE=F(.)$ desak, $BCFT$ va $EDFT$ siklik to'rtburchaklarni hosil qilamiz. Qolaversa, $A$ nuqtaning aniqlanishidan va $\angle ETS=\angle BTQ$ burchak tengliklaridan $\triangle BTQ \sim \triangle ETS$ kelib chiqadi. Ushbu o'xshashlik bizga $\angle BQT = \angle EST$ va \[ \frac{TB}{TQ} = \frac{TE}{TS} \quad \Rightarrow \quad CT\cdot TQ = DT\cdot TS \] larni beradi. Demak, $CDQS$ - siklik to'rtburchak ekan. U holda \[ \angle RPQ = \angle DCQ - \angle BQT = \angle DSQ - \angle EST = \angle RSQ \] va xuddi shunday $\angle PRS = \angle PQS$ ni ham, $PRQS$ to'rtburchakning siklik ekanligini ham keltiramiz.  ▢

-----------------------------------------

Yuqoridagiga o'xshash boshqa sintetik yechimlarni keltirish ham mumkin. Xususan, quyidagi chizmadagidek $U$ va $V$ nuqtalarni aniqlasak, $UV\parallel CD$ ekanligini ko'rsatish ham kifoya. Buni isbotlashda $\triangle BTU \sim \triangle ETV$ dan foydalanish lozim.

2-chizma