Quyidagi fundamental masala (IMO 2006/P1) ni qaraylik:
▻ Aytaylik bizga ichki aylana markazi $I$ nuqta bo'lgan $ABC$ uchburchak berilgan. Uchburchak ichida quyidagi shartni qanoatlantiruvchi $P$ nuqta tanlangan: \[ \angle PBA +\angle PCA = \angle PBC + \angle PCB. \] U holda $AP\ge AI$ ekanligini va tenglik agar va faqat agar $P\equiv I$ da bajarilishini isbotlang.
Masalani o'qiganda hayolga keladigan ilk fikr quyidagicha bo'lishi ta'biiy: $A$ nuqtadan biror aylana (yoki to'g'ri chiziq) gacha bolgan eng qisqa masofa $AI$ emasmikan!? Agar to'g'ri chiziq bo'lsa $AI$ ga $I$ dan perpendikulyar o'tkazish kerak; agar aylana deb qarasak, $I$ nuqtadan o'tuvchi markazi $AI$ to'g'ri chiziqda yotuvchi biror aylanani qarashimiz kerak.
Yechim. Yuqoridagi mulohazadan sezish qiyin emas aylana qaralish ehtimoli katta, xususan agar $AI$ to'g'ri chiziq uchburchak tashqi aylanasini ikkinchi bor $M$ nuqtada kesib o'tadi desak, $M$ markazi $B,I,C$ nuqtalardan o'tuvchi $\omega$ aylana mavjud (1-chizma ga qarang). Buni $MB=MI=MC$ ekanligidan ko'rish ham mumkin. Albatta, $A$ nuqtadan ushbu aylanagacha bo'lgan eng qisqa masofa $AI$ bo'ladi.
 |
| 1-chizma |
$P$ nuqtaning aniqlanishini qarasak ham ko'rishimiz mumkin-ki, $\angle BPC = 90^{\circ}+\frac{\angle A}{2} = \angle BIC$ va ushbu nuqta $\omega$ aylanada yotishi lozim. Demak, $AP\ge AI$ ekanligi aniq va albatta, tenglik holi faqat va faqat $P$ nuqta $I$ bilan ustma-ust tushganda bajariladi. ▢