IMO 2010 dan quyidagi ajoyib masalani qaraylik:
▻ Aytaylik, $ABC$ uchburchakda $I$ nuqta uning ichki aylana markazi, $\Gamma$ esa uning tashqi aylanasi bo'lsin. $AI$ to'g'ri chiziq $\Gamma$ aylanani ikkinchi bor $D$ nuqtada kesib o'tsin. Aytaylik, $E$ nuqta $BDC$ yoyda, $F$ nuqta esa $BC$ tomonda olingan bo'lib, \[ \angle BAF = \angle CAE < \frac{1}{2}\angle BAC \] shart o'rinli. $IF$ kesmaning o'rtasini $G$ nuqta deb olaylik. U holda $DG$ va $EI$ to'g'ri chiziqlar $\Gamma$ aylanada kesishishini isbotlang.
Ushbu masala point moving kuchini ko'rsatib beradi.
Yechim. (proyektiv yondashuv - point moving) Biz berilgan burchak shartlarni esdan chiqaramiz va $E$ nuqtani $\Gamma$ aylanada olingan deb qaraymiz. Bizda $\Gamma$ aylanani oxir oqibatda yana $\Gamma$ aylanaga qaytaruvchi ikkita proyektiv akslantirish mavjud: \[ \eta: \quad E \mapsto J \] bunda $\Gamma$ ning $I$ nuqta atrofida polar akslantirishini qarayapmiz, $IE$ ning $\Gamma$ bilan ikkinchi bor kesishish nuqtasi esa $J$ deb olingan (1-chizma ga qarang), ikkinchi akslantirishimiz esa \[ \eta_1: \quad E \mapsto AE \mapsto AF \mapsto F \mapsto G \mapsto DG \mapsto J_1 \] bunda dastlab pencil akslantirish, keyin $A$ atrofida simmetrik ko'chirib yana pencil orqali $BC$ to'g'ri chiziqqa va $I$ nuqta orqali homotetik akslantirish bilan $F$ ni $G$ ga va nihoyat $D$ nuqta orqali pencil qarash orqali $G$ ni $\Gamma$ dagi $J_1$ nuqtaga o'tkazamiz.
 |
| 1-chizma |
Biz $J$ va $J_1$ nuqtalarning ustma-ust tushishini ko'rsatishimiz lozim. Buning uchun $\eta$ va $\eta_1$ proyektiv akslantirishlarning ustma-ust tushishini ko'rsatish kifoyadir. Xususan, ularning uchta nuqtada ustma-ust tushishini ko'rsatish yetarli bo'ladi.
- $E=C$ bo'lsin. U holda $\eta$ akslantirish natijasida $J$ nuqta $AB$ kichik yoy o'rtasiga ko'chadi. $F$ nuqta $B$ bilan ustma-ust tushadi, $DJ$ ning $BI$ ga o'rta peprpendikulyar ekanligi aniq. Demak, $\eta_1$ natijasida $E$ nuqta ham $J$ ga o'tar ekan.
- $E=B$ bo'lsin. U holda $F$ nuqta $C$ bilan ustma-ust tushadi. $J$ nuqta esa $AC$ kichik yoy o'rtasi, $D$ nuqta esa $BC$ kichik yoy o'rtasi ekanligidan $DJ$ ning $IC$ ga o'rta perpendikulyar ekanligi aniq. Demak, $J$ va $J_1$ lar ustma-ust tushadi.
- $E=D$ bo'lsin. Bu holda $J$ ham, $J_1$ ham $A$ nuqta bilan ustma-ust tushadi. Ya'ni, $\eta$ va $\eta_1$ akslantirishlar ushbu holda ham ustma-ust tushmoqda.