IMO 2010/P4:
▻ Aytaylik, $ABC$ uchburchak ichida $P$ nuqta olingan; $AP$, $BP$, $CP$ to'g'ri chiziqlar uchburchak tashqi aylanasi bo'lmish $\Gamma$ aylanani ikkinchi bor mos ravishda $K$, $L$, $M$ nuqtalarda kesib o'tadi. $C$ nuqtadan $\Gamma$ ga o'tkazilgan urinma $AB$ to'g'ri chiziq bilan $S$ nuqtada kesishadi. Faraz qilaylik, $SC=SP$. U holda $MK=ML$ ekanligini ko'rsating.
Ushbu masala o'z zamoni uchun dolzarb bo'lishi mumkin, biroq bugungi kunga kelib IMO tarixidagi osonroq P4 lardan biridek ko'rinadi.
Yechim. Biz dastlab $S$ nuqtani aniqlab, $S$ markazli $SC$ radiusli aylanada $P$ nuqtani tanlab olamiz deb qarasak ham bo'ladi. $S$ markazli $SC$ radiusli aylana esa juda yaxshi ma'lum boldan - Apollon aylanasidir, ya'ni, $ABC$ uchburchak uchun $\frac{AX}{BX} = \frac{AC}{BC}$ shartni qanoatlantiradigan $X$ nuqtalar to'plami va bu aylana markazi $S$ nuqta, $C$ uchidan tushirilgan bissektrisalalar asoslarining o'rtasi bo'ladi. Xullas, k
1-chizma
Bu yog'iga masalani ikki xil usulda tugatishimiz mumkin.
1-usul: $\frac{AC}{BC} = \frac{AP}{BP} = \frac{LP}{KP}$ dan $CPL$ va $CPK$ uchburchaklar uchun sinuslar teoremasiga ko'ra \[ \sin \angle PCK = \sin \angle PCL \] ekanligini topamiz. Bu esa $MK=ML$ ga ekvivalentdir.
2-usul: Apollon aylanasining uchburchak bissektrisalari (tashqi va ichki) asosidan o'tishidan, aylananing $AB$ tomonni kesib o'tish nuqtasini $T$ nuqta desak, $CT$ to'g'ri chiziq $ABC$ uchburchak uchun, $PT$ esa $APB$ uchburchak uchun (ichki) bissektrisa vazifasini bajaradi. Bundan $\angle PST = \angle PCT$ dan foydalanib \[ \angle PAB - \angle PBA = \angle PCA - \angle PCB \] ni topamiz. Demak, \[ \angle PAB + \angle PCB = \angle PBA + \angle PCA \] ya'ni $\angle MAK = \angle MBL$ va $MK=ML$ ekan. ▢