Ushbu yili Toshkent shahrida xalqaro TASIMO olimpiadasi ilk bora tashkil etildi. Olimpiadadagi juda qiziqarli masalalar qatoridan quyidagi kamtarona geometriya masalalasi ham o'rin oldi:
▻ $AB<AC$ bo'lgan $ABC$ uchburchak berilgan. Aytaylik, uchburchakning $AC$ tomonida $D$ nuqta olingan bo'lib, $AB=AD$ tenglik o'rinli bo'ladi. Bundan tashqari, uchburchakning ichki aylana markazini $I$ nuqta desak, $BI$ va $AC$ to'g'ri chiziqlar $E$ nuqtada, $CI$ va $BD$ to'g'ri chiziqlar $F$ nuqtada kesishadi. $DI$ kesmada $FD=FG$ bo'ladigan qilib $G$ nuqta tanlangan. U holda $AG$ va $EF$ to'g'ri chiziqlar $CEI$ uchburchakning tashqi aylanasida kesishishini isbotlang.
Yechim. Masalada $G$ nuqtaning o'rnini topish juda muhim. Umuman olganda, $FG=FD$ dan \[ \angle FGD = \angle FDG = \angle FDI = \angle FBI \] kelib chiqadi. Demak, $BIGF$ to'rtburchak siklik ekan. Boshqacha aytganda, $G$ nuqta deganda $BIF$ uchburchak tashqi aylanasining $ID$ ni ikkinchi bor kesishish nuqtasini tushunishimiz mumkin. $\angle IBD = \angle ICD$ dan $BIDC$ ning ham siklikligi bor (1-chizma ga qarang).
 |
| 1-chizma |
$(BIF)$, $(CDF)$, $(BIDC)$ aylanalar uchun radikal markaz haqidagi teoremadan, $E$ nuqtaning ushbu aylanalar uchun radikal markaz bo'lishi hamda $(BIF)$ va $(CDF)$ aylanalarning ikkinchi bor kesishish nuqtasi bo'lmish $P$ nuqta $EF$ to'g'ri chiziqda yotishi kelib chiqadi. Boshqa tamondan, \[ \angle BPC = \angle BPF+\angle CPF = \angle EIF+\angle EDF = 180^{\circ} - \angle A \] va $P$ nuqtaning $ABC$ uchburchak tashqi aylanasida yotishi ham keladi. U holda \[ \angle BPA = \angle BCA = \angle EID = \angle BPG \] va $P$ nuqtaning $AG$ to'g'ri chiziqda yotishini ham topamiz. Demak, $AG$ va $EF$ to'g'ri chiziqlar $P$ nuqtada keshishar ekan va bu $P$ nuqta $(ABC)$, $(BIF)$, $(CDF)$ aylanalarning umumiy kesishish nuqtasi hamdir.
Endi, $P$ nuqtaning $CEI$ uchburchak tashqi aylanasida yotishini ko'rsatish kifoya. Buni $\{BE, BD, CE, CI\}$ to'g'ri chiziqlar uchun Mikel nuqtasi $P$ nuqta bo'lishidan ham ko'rish mumkin. Yoki, oddiy burchak qidirish orqali \[ \angle EPC = \angle FPC = \angle FDE = \angle FIE = \angle EIC \] ko'rish ham mumkin-ki, $P$ nuqta $(CEI)$ aylanada yotadi. ▢