Sankt-Peterburg shahar olimpiadasi va 239-maktab matematika olimpiadasi masalalari
G1. [239 MO 2023 / 10-11 sinf / 2-m]. Aytaylik, bizga $ABC$ uchburchak berilgan va uning tashqi-ichki aylanalari $BC$, $CA$, $AB$ tomonlariga mos ravishda $A_1$, $B_1$, $C_1$ nuqtalarda urinadi. $BB_1$ va $CC_1$ kesmalarning o`rtalari mos ravishda $B_2$ va $C_2$ bo`lsin. Aytaylik, $B_2C_2$ va $BC$ to`g`ri chiziqlar $W$ nuqtada kesishadi. U holda $WA=WA_1$ ni isbotlang. [yechim va mulohazalar]
G2. [239 MO 2023 / 8-9 sinf / 3-m]. $ABCD$ qavariq to'rtburchakka $\omega$ aylana ichki chizilgan. $K$ nuqta $AC$ diagonalda tanlangan bo'lib, $BK$ va $CK$ kesmalar $\omega$ aylanani mos ravishda $X$ va $Y$ nuqtalarda kesib o'tadi. Faraz qilaylik, $XY-$ $\omega$ aylananing diametri bo'ladi. U holda $XY\perp AC$ ni isbotlang. [yechim va mulohazalar]
G3. [239 MO 2023 / 8-9 sinf / 7-m]. Aytaylik, $ABCD$ qavariq to'rtburchakning diagonallari $E$ nuqtada kesishadi. Faraz qilaylik, $AEB$ va $DEC$ uchburchaklar umumiy $\omega$ tashqi-ichki aylanalarga ega; $\omega$ aylana $AE$ va $DE$ tomonlarga mos ravishda $B_1$ va $C_1$ nuqtalarda urinadi. $I$ va $J$ nuqtalar mos ravishda $AEB$ va $DEC$ uchburchaklarning ichki aylana markazlari bo'lsin. Aytaylik, $IC_1$ va $JB_1$ kesmalar $S$ nuqtada kesishadi. Agar $S$ nuqtaning $\omega$ aylanada yotishi ma'lum bo'lsa, u holda $AED$ uchburchakning tashqi aylanasi $\omega$ aylanaga urinishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
G4. [St. Petersburg 2020 / 11 sinf / 3-m]. Teng yonli bo`lmagan $ABC$ uchburchakda $BB_1$ bissektrisa o`tkazilgan. $I$ nuqta ushbu uchburchakning ichki aylana markazi bo`lsin. Aytaylik, $A$, $I$, $C$ nuqtalardan o`tuvchi $\omega$ aylana aniqlangan. $AC$ ning o`rta perpendikulyari ushbu $\omega$ aylanani $D$ va $E$ nuqtalarda kesib o`tadi. Bundan tashqari, $AC$ tomonda $AB_1=CF$ bo`ladigan $F$ nuqta ham olingan. U holda $B$, $D$, $F$, $E$ nuqtalar bitta aylanada yotishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
G5. [St. Petersburg 2022 / 10 sinf / 3-m]. $ABC$ uchburchakda $AH$ balandlik o`tkazilgan. Aytaylik, $A_1$ nuqta $A$ ning tashqi aylanadagi diametral qarama-qarshi nuqtasi bo'lsin. U holda $\angle BIH = \angle CIA_1$ ni isbotlang, bu yerda $I-$uchburchakning ichki aylana markazi. [yechim va mulohazalar]
G6. [St. Petersburg 2013 / 11 sinf / 6-m]. Aytaylik $(I_b)$, $(I_c)$ lar $\triangle ABC$ ning tashqi-ichki aylanalari bo'lsin. Fazaz qilaylik, $ \omega $ aylana shunday aniqlangan-ki, $A$ nuqtadan o'tib, $(I_b)$, $(I_c)$ aylanalarga tashqi ravishda urinadi, va ushbu aylana $BC$ ni $M$, $N$ nuqtalarda kesib o'tadi. U holda $ \angle BAM=\angle CAN $ ekanligini isbotlang. [yechim va mulohazalar]