UZB ichki olimpiadalardan geometriya masalalari va ularning yechimlari
Masalalar asosan UZB NO ning 3- va 4- bosqichlaridan, TST ning turli bosqichlaridan olingan (ba'zi masalalarning asl manbasi ko'rsatilmagan bo'lishi mumkin)
G1. [UZBTST 2023] Aytaylik, $A_1$, $B_1$, $C_1$ nuqtalar $ABC$ uchburchakning tashqi aylanasida olingan bo'lib, bunda $AA_1\| BB_1\| CC_1$. U holda $AB_1C_1$, $BC_1A_1$ va $CA_1B_1$ uchburchaklarning balandliklari kesishish nuqtalari bir to'g'ri chiziqda yotishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
G2. [UZBNO 2023 / viloyat / 9-sinf] $ABCD$ trapetsiya berilgan, bunda $AD\| BC$. Aytaylik, $A$ va $C$ burchaklarning ichki bissektrisalari $M$ nuqtada, $B$ va $D$ burchaklarning ichki bissektrisalari $N$ nuqtada kesishadi. U holda $D$, $D$, $M$, $N$ nuqtalar bitta aylanada yotishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
G3. [UZBNO 2023 / viloyat / 10-sinf] $ABC$ uchburchakning tashqi aylanasida $AD $ diametr o'tkazilgan. $H$ nuqta $A$ dan $BC$ tomonga tushirilgan balandlik asosi, hamda $M$ va $N$ nuqtalar mos ravishda $B$ va $C$ nuqtalardan $AD$ to'g'ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyarlarning asoslari bo'lsin. U holda $MHN$ uchbfurchakka tashwi chizilgan aylana markası $BC$ chiziqda yotishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
G4. [UZBNO 2023 / viloyat / 11-sinf] $ABCD$ rombning $C$ uchidan o'tuvchi $\ell$ to'g'ri chiziq $AB$ va $AD$ tomonlarning davomini mos ravishda $X$ va $Y$ nuqtalarda kesadi. Aytaylik, $DX$ va $BY$ to'g'ri chiziqlar $AXY$ uchburchakka tashqi chizilgan aylanani ikkinchi marta mos ravishda $P$ va $Q$ nuqtalarda kesadi. U holda $PCQ$ ga tashqi chizilgan aylana $\ell$ to'g'ri chiziqqa urinishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
G5. [UZBNO 2023 / Respublika / 5-m] $ABC$ uchburchakda $AB>AC$ va $I$ nuqta uning ichki aylana markazi bo'lsin. $AD$ esa uchburchakning bissektrisasi, bunda $D\in BC$. Aytaylik, $M$ nuqta $AD$ ning o'rtasi, va $BD$ kesma $\triangle BIC$ ning tashi aylanasini ikkinchi bor $F$ nuqtada kesadi. U holda $AF\perp CF$ ni isbotlang. [yechim va mulohazalar]
G6. [UZBNO 2012 / Respublika / 5-m] $ABCD-$cyclic to'rtburchak berilgan; $AC$ va $BD$ diagonallari $K$ nuqtada kesishadi. Aytaylik, $I_1$, $I_2$, $I_3$, $I_4$ lar mos ravishda $ABK$, $BCK$, $CDK$, $DAK$ uchburchaklarning ichki aylana markazlari, $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ lar esa mos ravishda $ABCD$ ning tashqi aylanasining $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ yoylarining o'rtalari. U holda $M_1I_1$, $M_2I_2$, $M_3I_3$, $M_4I_4$ lar concurrent ekanligini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
G7. [UZBTST 2023, 1-bosqich] O'tkir burchakli $ABC$ uchburchakning $AA_1$ va $CC_1$ balandliklari $H$ nuqtada kesishadi. Aytaylik, $A_1C_1$ to'g'ri chiziqga parallel ravishda $H$ nuqtadan o'tkazilgan to'g'ri chiziq $AHC_1$ va $CHA_1$ uchburchaklarning tashqi aylanalarini mos ravishda $X$ va $Y$ nuqtalarda kesib o'tadi. Ushbu $X$ va $Y$ nuqtalar $BH$ kesmaning o'rtasidan teng uzoqlikda joylashganini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
G8. [UZBTST 2023, 2-bosqich] Aytaylik, $ABC$ o'tkir burchakli uchburchakning $B$ uchidan uning tashqi aylanasiga $\ell$ urinma o'tkazilgan. Uchburchakning balandliklar kesishish nuqtasidan $\ell$ to'g'ri chiziqqa tushurilgan perpendikular asosi $K$ nuqta bo'lsin. Agar $L$ nuqta orqali $AC$ tomon o'rtasi olingan bo'lsa, u holda $BLK$ uchburchakning teng yonli ekanligini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
G9. [UZBTST 2023, 3-bosqich] Aytaylik, $ABCD$ siklik to`rtburchak berilgan. $AB$ tomon yotgan to`g`ri chiziqda $Q$ va $P$ nuqtalar shunday olingan-ki, $Q$, $A$, $B$, $P$ nuqtalar berilgan tartibda to`g`ri chiziqda yotadi. Faraz qilaylik, $AC$ to`g`ri chiziq $ADQ$ uchburchakning tashqi aylanasiga, $BD$ to`g`ri chiziq esa $BCP$ uchburchakning tashqi aylanasiga urinma bo`ladi. $M$ va $N$ nuqtalar mos ravishda $BC$ va $AD$ kesmalarning o`rtalari bo`lsin. U holda $ANQ$ uchburchakning tashqi aylanasiga $A$ nuqtadan o`tkazilgan urinma, $BMP$ uchburchakning tashqi aylanasiga $B$ nuqtada o`tkazilgan urinma va $CD$ to`g`ri chiziqlar konkurrent ekanligini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
G10. [UZBTST 2023, 3-bosqich] $ABC$ uchburchakda $\omega \, -$uning tashqi aylanasi, $O \,-$tashqi aylana markazi, $H$ esa ortomarkazi bo`lsin. Aytaylik, $K$ nuqta $AH$ kesmaning o`rtasi bo`lib, $OK$ ga $K$ nuqtadan o`tkazilgan perpendikulyar to`g`ri chiziq $AB$ va $AC$ tomonlarni mos ravishda $P$ va $Q$ nuqtalarda kesib o`tadi. $BK$ va $CK$ to`g`ri chiziqlar $\omega$ aylana bilan ikkinchi marta mos ravishda $X$ va $Y$ nuqtalarda uchrashadi. U holda $KPY$ va $KQX$ uchburchaklarga tashqi chizilgan aylanalarning ikkinchi bor kesishish nuqtasi $\omega$ aylanada yotishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]