Balkan MO (Balkan Mathematical Olympiad) dan geometrik masalalar
2023/P2. $ABC$ uchburchakka ichki chizilgan aylana $BC$, $CA$, $AB$ tomonlarga mos ravishda $D$, $E$, $F$ nuqtalarda urinadi. Faraz qilaylik, $EF$ to'g'ri chiziqda shunday $X$ nuqta mavjud-ki, $\angle XBC = \angle XCB = 45^{\circ}$ tenglik bajariladi. Aytaylik, $ABC$ uchburchak tashqi aylanasining $A$ nuqtani o'z ichiga olmaydigan $BC$ yoyining o'rtasi $M$ nuqta bilan belgilangan. U holda $MD$ to'g'ri chiziq yoki $E$, yoki $F$ nuqtadan o'tishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
2022/Shortlist G2. $ABC$ uchburchakda $AB>AC$ va $I$ nuqta uning ichki aylana markazi bo'lsin. $AD$ esa uchburchakning bissektrisasi, bunda $D\in BC$. Aytaylik, $M$ nuqta $AD$ ning o'rtasi, va $BD$ kesma $\triangle BIC$ ning tashi aylanasini ikkinchi bor $F$ nuqtada kesadi. U holda $AF\perp CF$ ni isbotlang. [yechim va mulohazalar]
2022/Shortlist G3. $ABC$ uchburchak va uning tashqi aylanasi $\omega$ berilgan. Aytaylik, tashqi aylananing $BC$ yoyining o'rtasi $E$ nuqta, $BC$ tomonning o'rtasi esa $M$ nuqta bilan belgilangan. $V$ nuqta $AM$ ning $\omega$ bilan ikkinchi bor kesishish nuqtasi, $F$ esa $AE$ ning $BC$ bilan kesishish nuqtasi bo'lsin. Bunda tashqari, $X$ nuqta ham aniqlangan, $FEM$ uchburchakning tashqi aylanasini $\omega$ bilan kesishish nuqtasi ($E$ dan tashqari). Shuningdek, $X'$ nuqta $V$ ning $M$ ga nisbatan symmetrik nuqtasi, $A'$ nuqta $A$ nuqtadan $BC$ ga tushirilgan balandlik asosi va $S$ nuqta $XA'$ ning $\omega$ bilan ikkinchi bor kesishish nuqtasi bo'lsin. Agar $Z$ nuqta $\omega$ da olingan $AX=AZ$ shartni qanoatlantiruvchi $X$ dan farqli nuqta bo'lsa, u holda $S$, $X'$, $Z$ nuqtalarni bitta to'g'ri chiziqda yotishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
2022/Shortlist G4. $ABC$ uchburchakning tashqi aylanasiga $B$ nuqtadan o'tkazilgan urinma $\angle A$ ning bissektrisasi bilan $P$ nuqtada kesishadi. Aytaylik, $Q$ nuqta $AB$ tomonda yotib, $PQ\parallel AC$ bo'lsin; $Q$ nuqtadan $BC$ parallel qilib o'tkazilgan to'g'ri chiziq esa $AC$ ni $X$ nuqtada kesib o'tib, $PC$ to'g'ri chiziq bilan $Y$ nuqtada uchrashadi. U holda $PX$ to'g'ri chiziqni $CXY$ uchburchakning tashqi aylanasiga urinma ekanligini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
2022/Shortlist G5. $ABC$ uchburchakda $\omega \, -$uning tashqi aylanasi, $O \,-$tashqi aylana markazi, $H$ esa ortomarkazi bo`lsin. Aytaylik, $K$ nuqta $AH$ kesmaning o`rtasi bo`lib, $OK$ ga $K$ nuqtadan o`tkazilgan perpendikulyar to`g`ri chiziq $AB$ va $AC$ tomonlarni mos ravishda $P$ va $Q$ nuqtalarda kesib o`tadi. $BK$ va $CK$ to`g`ri chiziqlar $\omega$ aylana bilan ikkinchi marta mos ravishda $X$ va $Y$ nuqtalarda uchrashadi. U holda $KPY$ va $KQX$ uchburchaklarga tashqi chizilgan aylanalarning ikkinchi bor kesishish nuqtasi $\omega$ aylanada yotishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
2022/Shortlist G6. Aytaylik, bizga $ABC$ uchburchak berilgan, bunda $AB<AC$, va $D$ nuqta $\angle A$ ning bissektrisasining uchburchak tashqi aylanasi bilan ikkinchi bor kesishish nuqtasi bo'lsin. $E$ va $F$ nuqtalar mos ravishda $AB$ va $AC$ tomonlarda olingan bo'lib, $AE=AF$ bajariladi. Aytaylik, $AD$ va $EF$ lar $P$ nuqtada kesishadi, $M$ nuqta esa $BC$ toman o'rtasi. U holda $AM$ to'g'ri chiziq $\triangle AEF$ va $\triangle PMD$ uchburchaklar tashqi aylanalarining umumiy kesishish nuqtasidan o'tishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]
2017/P2. Bizga biror $ABC-$o`tkir burchakli uchburchak berilgan bo`lsin ($AB<AC$); $(O)$-ushbu uchburchakning tashqi aylanasi. Aytaylik, $(O)$ ga $B$ va $C$ nuqtalardan mos ravishda $l_b$ va $l_c$ urinmalar o`tkazilgan; ushbu urinmalar $L$ nuqtada kesishadi. Aytaylik, $B$ nuqtadan $AC$ ga parallel qilib o`tkazilgan to`g`ri chiziq bilan $l_c$ urinma $D$ nuqtada, $C$ nuqtadan $AB$ ga parallel qilib o`tkazilgan to`g`ri chiziq bilan $l_b$ urinma $E$ nuqtada kesishadi. $BDC$ ning tashqi aylanasi $AC$ ni ikkinchi bor $T$ nuqtada ($T$ nuqta $A$ va $C$ ning orasida yotadi), $BEC$ ning tashqi aylanasi $AB$ ni ikkinchi bor $S$ nuqtada ($B$ nuqta $S$ va $A$ ning orasida yotadi) kesadi. U holda $ST$, $AL$, $BC$ lar bir nuqtada kesishishini isbotlang. [yechim va mulohazalar]