Quyidagi masalalar ketma-ketligini qaraylik. Ushbu konfiguratsiya o'tgan dekadada juda urfga kirgan sohalardan biri edi (turli olimpiadalar va mathlinks portalida):
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
$ABC$ uchburchakda $\Omega-$ tashqi aylanasi, $\omega-$ ichki aylanasi va $\omega_a$, $\omega_b$, $\omega_c$ lar uchburchakning mos tashqi-ichki aylanalari bo'lsin; bundan tashqari, $O$, $I$, $I_a$, $I_b$, $I_c$ lar ushbu aylanalarning markazlari deylik. U holda
1-masala:
- $I_b$, $I_c$, $B$, $C$ nuqtalar concyclic (bitta aylanada yotadi);
- $I_bI_c\cap BC = P(.)$ desak, $\{P,I_b,A,I_c\}$ to'rtlik harmonik bo'ladi;
- aytaylik, $BC$ ning o'rtasi $M$ nuqta, $AD-$ uchburchakning bissektrisasi bunda $D\in BC$, u holda $I_b,I_c,M,D$ nuqtalar concyclic bo'ladi;
Aytaylik, uchburchakning $BE$, $CF$ bissektrisalari ham o'tkazilgan va $EF$ t/ch $\Omega$ tashqi aylanani $X$ va $Y$ nuqtalarda kesadi.
2-masala:
- $XY$ t/ch $P$ nuqtadan o'tadi;
- $X$, $Y$, $D$, $M$ nuqtalar concyclic bo'ladi;
- $I_b$, $I_c$, $X$, $Y$, $I$ nuqtalar bitta aylanada yotadi;
Aytaylik, $\Omega$ va $\omega_a$ aylanalar $U$ va $V$ nuqtalarda kesishadi; $Z$ nuqta esa ushbu aylanalarning umumiy tashqi urinmalari kesishish nuqtasi bo'lsin (exsimilar center). Bundan tashqari, ushbu tashqi urinmalar $BC$ ni $B_a$ va $C_a$ nuqtalarda kesib o'tsin. $T_A$ nuqta esa $\triangle ABC$ ning $\Omega_a$ mixtilinear aylanasining $\Omega$ tashi aylanaga urinish nuqtasi.
3-masala:
- $Z$, $A$, $T_A$ nuqtalar collinear;
- $XV$ va $YU$ lar $\omega_a$ ga urinma bo'ladi;
- $ZX$ va $ZY$ lar $\Omega$ ga urinma bo'ladi;
- $B_a$, $U$, $T_a$ nuqtalar collinear; shuningdek, $C_a$, $V$, $T_a$ nuqtalar ham collinear;
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
 |
| 1-chizma |
Yuqoridagi masalalar asosan 1-chizma bo'yicha keltirilgan (noaniq joylarida 1-chizma ga qarashga erinmang :-)).